Рассмотрим квантовую систему, состоящую из двух компонент \( \mathscr{H}_{1}, \mathscr{H}_{2} \). Чистые состояния такой системы задаются единичными векторами \( \psi \in \mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2} \), которые являются линейными комбинациями (суперпозициями) факторизуемых векторов \( \psi_{1} \otimes \psi_{2} \). Если \( \psi= \) \( =\psi_{1} \otimes \psi_{2} \), то обе компоненты системы находятся в однозначно определенных чистых состояниях; если же \( \psi \) нефакторизуемо, то между компонентами обнаруживаются специфические корреляции, которые невозможно смоделировать никаким классическим механизмом случайности. На это обратил внимание Белл, показавший, что даже в контекстуальной теории со скрытыми параметрами нельзя удовлетворить естественному требованию, названному им «эйнштейновской локальностью» [66]\». Обсудим близкое, но более общее условие разделимости [45].
1) В этой связи см. также статью Э. Вигнера «Скрытые параметры и квантовомеханические вероятности» в сб. [11].

Рассмотрим наблюдаемые
\[
\begin{array}{l}
\hat{X}_{j}=\hat{X}_{j}^{(1)} \otimes \hat{\mathrm{I}}^{(2)}, j_{k}=1 \ldots, n ; \\
\hat{Y}_{k}=\hat{\mathrm{I}}^{(1)} \otimes \hat{Y}_{j}^{(2)}, k=1, \ldots, m,
\end{array}
\]

где \( \hat{\mathrm{I}}^{(j)} \) — единичный оператор в \( \mathscr{H}_{j} \), так что
\[
\left[\hat{X}_{j}, \hat{Y}_{k}\right]=0
\]
т. е. каждая наблюдаемая \( \hat{X}_{j} \) совместима с каждой \( \hat{Y}_{k} \). Поэтому для любого состояния \( \hat{S} \) в \( \mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2} \) определены квантовые корреляции \( \left\langle\hat{X}_{j}, \hat{Y}_{k}\right\rangle_{\hat{s}} \). Матрица \( \mathbf{C}=\left[\left\langle\hat{X}_{j}, \hat{Y}_{k}\right\rangle_{\hat{S}}\right]_{\substack{j=1 \\ k=1, \ldots, n, m}} \) описывает статистические результаты \( n \mathrm{~m} \) различных экспериментов, вообще говоря, несовместимых между собой.

ГІ редложение. Пусть \( n, m \geqslant 2 \). Не существует измеримого пространства \( \Omega \) и отображений \( S(d \omega) \rightarrow \hat{S}, X(\omega) \rightarrow \hat{X} \) таких, что:
1) если \( X(\omega) \rightarrow \hat{X} \), то \( X(\omega) € \mathrm{~S} \mathrm{p} \hat{X} \)
2) для любого \( \hat{S_{\text {и }}} \) и любых \( \hat{X}_{1}, \ldots, \hat{X}_{n} ; \hat{Y}_{1}, \ldots, \hat{Y}_{m} \) вида найдутся \( X_{j}(\omega), Y_{k}(\omega) \) такие, что \( X_{j}(\omega) \rightarrow \hat{X}_{j}, Y_{k}(\omega) \rightarrow \hat{Y}_{k} \) и
\[
\left\langle\hat{X}_{j}, \hat{Y}_{k}\right\rangle_{\hat{S}}=\int_{\Omega} X_{j}(\omega) Y_{j}(\omega) S(d \omega) ; j=1, \ldots, n, \quad k=1, \ldots, m,
\]

для какого-либо \( S(d \omega) \rightarrow \hat{S} \).
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем \( n= \) \( =m=2 \). Рассмотрим наблюдаемые \( \hat{X}_{1}, \hat{X}_{2}, \hat{Y}_{1}, \hat{Y}_{2} \) вида (4.1) и такие, что
\[
\left\|\hat{X}_{j}\right\| \leqslant 1,\left\|\hat{Y}_{k}\right\| \leqslant 1 .
\]

Предположим, что указанные отображения существуют и пусть \( X_{j}, Y_{k} \) — соответствующие случайные величины на вероятностном пространстве \( (\Omega, \mathscr{B}(\Omega), S(d \omega)) \). В силу условия 1\( ) \), \( \left|X_{j}(\omega)\right| \leqslant 1,\left|Y_{k}(\omega)\right| \leqslant 1 \), откуда
\[
X_{1}(\omega) Y_{1}(\omega)+X_{1}(\omega) Y_{2}(\omega)+X_{2}(\omega) Y_{1}(\omega)-X_{2}(\omega) Y_{2}(\omega) \leqslant 2, \quad \omega \in \Omega,
\]

Усредняя по \( S(d \omega) \) и используя условие 2\( ) \), получаем неравенство Белла-Клаузера-Хорна-Шимони (БКХШ)
\[
\left\langle\hat{A}_{1}, \hat{Y}_{1}\right\rangle_{\hat{s}}+\left\langle\hat{X}_{1}, \hat{Y}_{2}\right\rangle_{\hat{s}}+\left\langle\hat{X}_{2}, \hat{Y}_{1}\right\rangle_{\hat{s}}\left\langle\left\langle\hat{\lambda}_{2}, \hat{Y}_{2}\right\rangle_{\hat{s}} \leqslant 2 .\right.
\]

Остается указать квантовле наблюдаемые \( \hat{X}_{p}, \hat{Y}_{k} \) и состоя ние \( \hat{S} \), для которых неравенство (4.4) нарушается. Рассмотрим систему из двух частиц со спином \( 1 / 2 \), так что \( \operatorname{dim} \mathscr{H}_{1}= \) \( =\operatorname{dim} \mathscr{H}_{2}=2 \). (см. п. 1.6). Пусть \( \hat{S} \) — чистое состоя ние составной системы с вектором

\[
\psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{1}(\mathrm{e}) \otimes \psi_{2}(-\mathrm{e})-\psi_{1}(-\mathrm{e}) \otimes \psi_{2}(\mathrm{e})\right],
\]

где \( \psi_{j}(\mathrm{e}) \) — единичный вектор \( j \)-й компоненты, описывающий полностью поляризованное состояние с направлением спина е. Положим
\[
\hat{\hat{A}}(\mathbf{a})=\hat{X}^{(1)}(\mathrm{a}) \otimes \hat{\mathrm{I}}^{(2)}, \quad \hat{Y}(\mathrm{~b})=\hat{\mathrm{I}}^{(1)} \otimes \hat{\hat{\lambda}}^{(2)}(\mathbf{b}),
\]

где \( \hat{\lambda}^{(j)}(\mathrm{a}) \) — наблюдаемые спина в \( \mathscr{H}_{j} \) (см. п. 1.6). Корреляции между компонентами имеют вид
\[
\langle\hat{X}(\mathbf{a}), \hat{Y}(\mathbf{b})\rangle_{\hat{S}}\left\langle\psi \mid \hat{A}^{(1)}(\mathbf{a}) \otimes \hat{X}^{(2)}(\mathbf{b}) \psi\right\rangle=-\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} .
\]

Пусть векторы \( \mathbf{a}_{j}, \mathbf{b}_{k} \) образуют конфигурацию, обозначенную на рисунке, тогда значение левой части неравенства (4.4) для наблюдаемых \( \hat{X}_{j}=\hat{X}\left(\mathbf{a}_{j}\right), \hat{Y}_{k}=\hat{Y}\left(\mathbf{b}_{k}\right) \) равно \( 2 \sqrt{2} \), что противоречит неравенству и доказывает предложение \( { }^{1)} \).
В [114] указано общее неравенство
\[
\left(\hat{X_{1}} \hat{Y}_{1}+\hat{X_{1}} \hat{Y}_{2}+\hat{X_{2}} \hat{Y_{1}}-\hat{\hat{A}_{2}} \hat{Y_{2}}\right)^{2} \leqslant 4 \hat{I}-\left[\hat{X_{1}}, \hat{\lambda_{2}}\right] \cdot\left[\hat{Y_{1}}, \hat{Y_{2}}\right],
\]

справедливое лля любых операторов, удовлетворяющих условиям (4.2), (4.3). Из него вытекает как неравенство БКХШ (при \( \left[\hat{X}_{1}, \hat{X}_{2}\right]=\left[\hat{Y}_{1}, \hat{Y}_{2}\right]=0 \) ), так и граница
\[
\left\|\hat{X}_{1} \hat{Y}_{1}+\hat{X}_{1} \hat{Y}_{2}+\hat{X}_{2} \hat{Y}_{1}-\hat{A}_{2} \hat{Y}_{2}\right\| \leqslant 2 \sqrt{2},
\]

из которой видно, что в построенном примере неравенство БКХШ нарушается максимальным образом.
1) Работы Дж. Белла стимулировали ряд экспериментов, в которых нарушение неравенства БКХШ получило подтверждение (см., например, [14]):

Поскольку компоненты составной системы могут представлять собой частицы, пространственно отделенные друг от друга макроскопическим расстоянием, то описывающая их теория со скрытыми параметрами должна быть существенно нелокальной \( { }^{1} \). В работе Саммерса и Вернера [156] показано, что положение не спасает и переход к локальной квантовой теории поля, где неравенство БКХШ также нарушается максимальным образом.