Главная > КВАНТОВАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из двух компонент \( \mathscr{H}_{1}, \mathscr{H}_{2} \). Чистые состояния такой системы задаются единичными векторами \( \psi \in \mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2} \), которые являются линейными комбинациями (суперпозициями) факторизуемых векторов \( \psi_{1} \otimes \psi_{2} \). Если \( \psi= \) \( =\psi_{1} \otimes \psi_{2} \), то обе компоненты системы находятся в однозначно определенных чистых состояниях; если же \( \psi \) нефакторизуемо, то между компонентами обнаруживаются специфические корреляции, которые невозможно смоделировать никаким классическим механизмом случайности. На это обратил внимание Белл, показавший, что даже в контекстуальной теории со скрытыми параметрами нельзя удовлетворить естественному требованию, названному им «эйнштейновской локальностью» [66]\”. Обсудим близкое, но более общее условие разделимости [45].
1) В этой связи см. также статью Э. Вигнера «Скрытые параметры и квантовомеханические вероятности» в сб. [11].

Рассмотрим наблюдаемые
\[
\begin{array}{l}
\hat{X}_{j}=\hat{X}_{j}^{(1)} \otimes \hat{\mathrm{I}}^{(2)}, j_{k}=1 \ldots, n ; \\
\hat{Y}_{k}=\hat{\mathrm{I}}^{(1)} \otimes \hat{Y}_{j}^{(2)}, k=1, \ldots, m,
\end{array}
\]

где \( \hat{\mathrm{I}}^{(j)} \) – единичный оператор в \( \mathscr{H}_{j} \), так что
\[
\left[\hat{X}_{j}, \hat{Y}_{k}\right]=0
\]
т. е. каждая наблюдаемая \( \hat{X}_{j} \) совместима с каждой \( \hat{Y}_{k} \). Поэтому для любого состояния \( \hat{S} \) в \( \mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2} \) определены квантовые корреляции \( \left\langle\hat{X}_{j}, \hat{Y}_{k}\right\rangle_{\hat{s}} \). Матрица \( \mathbf{C}=\left[\left\langle\hat{X}_{j}, \hat{Y}_{k}\right\rangle_{\hat{S}}\right]_{\substack{j=1 \\ k=1, \ldots, n, m}} \) описывает статистические результаты \( n \mathrm{~m} \) различных экспериментов, вообще говоря, несовместимых между собой.

ГІ редложение. Пусть \( n, m \geqslant 2 \). Не существует измеримого пространства \( \Omega \) и отображений \( S(d \omega) \rightarrow \hat{S}, X(\omega) \rightarrow \hat{X} \) таких, что:
1) если \( X(\omega) \rightarrow \hat{X} \), то \( X(\omega) € \mathrm{~S} \mathrm{p} \hat{X} \)
2) для любого \( \hat{S_{\text {и }}} \) и любых \( \hat{X}_{1}, \ldots, \hat{X}_{n} ; \hat{Y}_{1}, \ldots, \hat{Y}_{m} \) вида найдутся \( X_{j}(\omega), Y_{k}(\omega) \) такие, что \( X_{j}(\omega) \rightarrow \hat{X}_{j}, Y_{k}(\omega) \rightarrow \hat{Y}_{k} \) и
\[
\left\langle\hat{X}_{j}, \hat{Y}_{k}\right\rangle_{\hat{S}}=\int_{\Omega} X_{j}(\omega) Y_{j}(\omega) S(d \omega) ; j=1, \ldots, n, \quad k=1, \ldots, m,
\]

для какого-либо \( S(d \omega) \rightarrow \hat{S} \).
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем \( n= \) \( =m=2 \). Рассмотрим наблюдаемые \( \hat{X}_{1}, \hat{X}_{2}, \hat{Y}_{1}, \hat{Y}_{2} \) вида (4.1) и такие, что
\[
\left\|\hat{X}_{j}\right\| \leqslant 1,\left\|\hat{Y}_{k}\right\| \leqslant 1 .
\]

Предположим, что указанные отображения существуют и пусть \( X_{j}, Y_{k} \) – соответствующие случайные величины на вероятностном пространстве \( (\Omega, \mathscr{B}(\Omega), S(d \omega)) \). В силу условия 1\( ) \), \( \left|X_{j}(\omega)\right| \leqslant 1,\left|Y_{k}(\omega)\right| \leqslant 1 \), откуда
\[
X_{1}(\omega) Y_{1}(\omega)+X_{1}(\omega) Y_{2}(\omega)+X_{2}(\omega) Y_{1}(\omega)-X_{2}(\omega) Y_{2}(\omega) \leqslant 2, \quad \omega \in \Omega,
\]

Усредняя по \( S(d \omega) \) и используя условие 2\( ) \), получаем неравенство Белла-Клаузера-Хорна-Шимони (БКХШ)
\[
\left\langle\hat{A}_{1}, \hat{Y}_{1}\right\rangle_{\hat{s}}+\left\langle\hat{X}_{1}, \hat{Y}_{2}\right\rangle_{\hat{s}}+\left\langle\hat{X}_{2}, \hat{Y}_{1}\right\rangle_{\hat{s}}\left\langle\left\langle\hat{\lambda}_{2}, \hat{Y}_{2}\right\rangle_{\hat{s}} \leqslant 2 .\right.
\]

Остается указать квантовле наблюдаемые \( \hat{X}_{p}, \hat{Y}_{k} \) и состоя ние \( \hat{S} \), для которых неравенство (4.4) нарушается. Рассмотрим систему из двух частиц со спином \( 1 / 2 \), так что \( \operatorname{dim} \mathscr{H}_{1}= \) \( =\operatorname{dim} \mathscr{H}_{2}=2 \). (см. п. 1.6). Пусть \( \hat{S} \) – чистое состоя ние составной системы с вектором

\[
\psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{1}(\mathrm{e}) \otimes \psi_{2}(-\mathrm{e})-\psi_{1}(-\mathrm{e}) \otimes \psi_{2}(\mathrm{e})\right],
\]

где \( \psi_{j}(\mathrm{e}) \) – единичный вектор \( j \)-й компоненты, описывающий полностью поляризованное состояние с направлением спина е. Положим
\[
\hat{\hat{A}}(\mathbf{a})=\hat{X}^{(1)}(\mathrm{a}) \otimes \hat{\mathrm{I}}^{(2)}, \quad \hat{Y}(\mathrm{~b})=\hat{\mathrm{I}}^{(1)} \otimes \hat{\hat{\lambda}}^{(2)}(\mathbf{b}),
\]

где \( \hat{\lambda}^{(j)}(\mathrm{a}) \) – наблюдаемые спина в \( \mathscr{H}_{j} \) (см. п. 1.6). Корреляции между компонентами имеют вид
\[
\langle\hat{X}(\mathbf{a}), \hat{Y}(\mathbf{b})\rangle_{\hat{S}}\left\langle\psi \mid \hat{A}^{(1)}(\mathbf{a}) \otimes \hat{X}^{(2)}(\mathbf{b}) \psi\right\rangle=-\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} .
\]

Пусть векторы \( \mathbf{a}_{j}, \mathbf{b}_{k} \) образуют конфигурацию, обозначенную на рисунке, тогда значение левой части неравенства (4.4) для наблюдаемых \( \hat{X}_{j}=\hat{X}\left(\mathbf{a}_{j}\right), \hat{Y}_{k}=\hat{Y}\left(\mathbf{b}_{k}\right) \) равно \( 2 \sqrt{2} \), что противоречит неравенству и доказывает предложение \( { }^{1)} \).
В [114] указано общее неравенство
\[
\left(\hat{X_{1}} \hat{Y}_{1}+\hat{X_{1}} \hat{Y}_{2}+\hat{X_{2}} \hat{Y_{1}}-\hat{\hat{A}_{2}} \hat{Y_{2}}\right)^{2} \leqslant 4 \hat{I}-\left[\hat{X_{1}}, \hat{\lambda_{2}}\right] \cdot\left[\hat{Y_{1}}, \hat{Y_{2}}\right],
\]

справедливое лля любых операторов, удовлетворяющих условиям (4.2), (4.3). Из него вытекает как неравенство БКХШ (при \( \left[\hat{X}_{1}, \hat{X}_{2}\right]=\left[\hat{Y}_{1}, \hat{Y}_{2}\right]=0 \) ), так и граница
\[
\left\|\hat{X}_{1} \hat{Y}_{1}+\hat{X}_{1} \hat{Y}_{2}+\hat{X}_{2} \hat{Y}_{1}-\hat{A}_{2} \hat{Y}_{2}\right\| \leqslant 2 \sqrt{2},
\]

из которой видно, что в построенном примере неравенство БКХШ нарушается максимальным образом.
1) Работы Дж. Белла стимулировали ряд экспериментов, в которых нарушение неравенства БКХШ получило подтверждение (см., например, [14]):

Поскольку компоненты составной системы могут представлять собой частицы, пространственно отделенные друг от друга макроскопическим расстоянием, то описывающая их теория со скрытыми параметрами должна быть существенно нелокальной \( { }^{1} \). В работе Саммерса и Вернера [156] показано, что положение не спасает и переход к локальной квантовой теории поля, где неравенство БКХШ также нарушается максимальным образом.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru