Следующий результат типа теоремы Шенберга (см., например, [96], [138]) перебрасывает мост между скалярными условно положительно определенными функциями и вполне диссипативными отображениями (п. 3.2.2).

Предложение. Пусть \( \mathscr{L}(\lambda) \) – функция со значениями в \( \mathfrak{F}_{\sigma} \).
Следующие условия эквивалентны:
2) функция \( \mathscr{L}(\lambda) \) эрмитова, т. е. \( \mathscr{L}(-\lambda)\left[X^{*}\right]=\mathscr{L}(\lambda)[X]^{*} \)

и условно положительно определенная, т. е. для любых конечных наборов \( \left\{\psi_{j}\right\} \subset \mathscr{H},\left\{\lambda_{j}\right\} \subset \mathbf{R},\left\{X_{j}\right\} \subset \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) таких, что \( \sum_{j} X_{j} \psi_{j}=0 \) выполняется
\[
\sum_{j, k}\left\langle\psi_{j} \mid \mathscr{L}\left(\lambda_{k}-\lambda_{j}\right)\left[X_{j}^{* *} X_{k}\right] \psi_{k}\right\rangle \geqslant 0 .
\]

Для того чтобы функция \( \mathscr{L}(\lambda) \) представлялась в виде предела (2.9), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла одному из условий этого предложения, была \( \tau \)-непрерывна и \( \mathscr{L}(0)[\mathrm{I}]=0 \). Такие функции будем называть квазихарактеристическими.

Семейство инструментов \( \left\{\mathscr{N}_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)образует сверточную nолугрупny, если \( \mathscr{P}_{t} * \mathscr{P}_{s}=\mathscr{P}_{t+s} ; t, s \in \mathbf{R}_{+} \). Очевидно, что все инструменты \( \mathscr{P}_{t} \) безгранично делимы. Пусть \( \Phi_{t}(\lambda) \) – характеристическая функция инструмента \( \mathscr{P}_{t} \). Соотношение
\[
\Phi_{t}(\lambda)=\exp t \mathscr{L}(\lambda) ; t \in \mathbf{R}_{+},
\]

устанавливает взаимно однозначное соответствие между квазихарактеристическими функциями \( \mathscr{L}(\lambda) \) и сверточными полугруппами вполне положительных инструментов, удовлетворяющими условию непрерывности
\[
\lim _{t \rightarrow 0}\left\|\mathcal{P}_{t}\left(U_{0}\right)-\operatorname{Id}\right\|=0
\]

для любой окрестности нуля \( U_{0} \).
Следующий результат можно рассматривать как обобщение представления Леви-Хинчина для логарифма характеристической функции безгранично делимого распределения.

Т еорем а. Для того чтобы функция \( \mathscr{L}(\lambda) \) со значениями в \( \xi_{\sigma} \) была квазихарактеристической, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление
\[
\mathscr{L}(\lambda)=\mathscr{L}_{0}+\mathscr{L}_{1}(\lambda)+\mathscr{L}_{2}(\lambda)
\]

где \( \mathscr{L}_{0} \) – вполне диссипативное отображение вида (3.2.5), \( \mathscr{L}_{1}(\lambda)\left[\lambda^{*}\right]=\sigma^{2}\left[\left(L^{*} X^{*} L-L^{*} L \circ \lambda\right)+i \lambda\left(L^{*} X+X L\right)-\frac{1}{2} \lambda_{2} X\right] \),
причем \( \sigma^{2} \geqslant 0, L \in \mathscr{F}(\mathscr{C}) \), т. е. функция типа (2.11);
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}_{2}(\lambda)[X] & =\sum_{r, s=1}^{\infty} \int_{\mathbf{R} \backslash 0}\left(V_{s}^{*} X V_{r} e^{i \lambda x}-V_{s}^{*} V_{r} \circ X\right) \mu_{r s}(d x)+ \\
& +\sum_{s=1}^{\infty} V_{s}^{*} X \int_{\mathbf{R} \backslash 0}\left(e^{i \lambda x}-1\right) \mu_{0 s}(d x)+ \\
& +\sum_{r=1}^{\infty} X V_{r} \int_{\mathbf{R} \backslash 0}\left(e^{i \lambda x}-1\right) \mu_{r 0}(d x)+ \\
+ & \left.\int_{\mathbf{R} \backslash 0}\left(e^{i \lambda x}-1-\frac{i \lambda x}{1+x^{2}}\right) \mu_{00}(d x)+i \alpha \lambda\right] \ddot{\lambda},
\end{aligned}
\]

где \( \alpha \in \mathrm{R}, V_{s} \in \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \), а \( \left[\mu_{r, s}\right]_{r, s=1,2, \ldots} \) – положительно определенная матрица комплексных мер на \( \mathbf{R} \backslash 0 \), такая, что ряд \( \sum_{r, s=1}^{\infty} \mu_{r s}(\mathrm{R} \backslash 0) V_{s}^{*} V_{r} \) сходится \( w^{*} \)-слабо, и \[ \int_{\mathbf{R} \backslash 0} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \mu_{00}(d x)<\infty . \]

Доказательство формулы (2.14) использует разновидность конструкции ГНС, которая сопоставляет условно положительно определенной функции \( \mathscr{L}(\lambda) \) пару коммутируюших коциклов алгебры \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) и группы \( \mathbf{R} \), а также сведения о структуре этих коциклов [96], [84], [76] (доказательство проходит для любой алгебры фон Неймана и абелевой локально-компактной группы). Перенесение вероятностного метода, основанного на понятии сопровождающего закона, представляется в некоммутативной ситуации затруднительным.

Вероятностный смысл каждого из слагаемых в формуле (2.12) выясняется в связи с процессами непрерывного измерения.