Проблема характеризации инфинитезимального оператора динамической полугруппы без требования непрерывности по норме трудна и остается открытой. Нетривиальной является и задача построения динамической полугруппы по формальному выражению типа (2.5), где \( H, L_{j} \) неограниченные операторы. Дэвис [79] указал довольно общие условия, при которых с формальным выражением (2.4) ассоциируется сильно непрерывная полугруппа вполне положительных отображений \( \left\{\Phi_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \), такая что
\[
\Phi_{t}[\mathrm{I}] \leqslant \mathrm{I},
\]

и являющаяся аналогом феллеровского минимального решения в классической теории марковских процессов. Если минимальная полугруппа консервативна в том смысле, что \( \Phi_{l}[1]=\mathrm{I} \), то она является единственной динамической полугруппой, инфинитезимальный оператор которой является замыканием оператора (2.5). Неконсервативность, как и в классической теории, связана с возможностью «ухода на бесконечность» за конечное время.

Пример 1 ([79]). Пусть \( \mathscr{C}=l^{2} \) – гильбертово пространство последовательностей \( \left\{\Psi_{n} ; n \geqslant 0\right\} \) и «операторы рожденияуничтожения» \( a^{*}, a \) определены соотношениями \( \left(a^{*} \psi\right)_{n}= \) \( =\sqrt{n} \psi_{n-1}, \quad(a \psi)_{n}=\sqrt{n+1} \psi_{n+1} \). Рассмотрим управляющее уравнение
\[
\frac{d S_{t}}{d t}=L S_{t} L^{*}-L^{*} L \circ S_{t},
\]

где \( L=a^{* 2}, L^{*}=a^{2} \), а \( S_{t} \) – диагональный оператор плотности в \( l^{2} \). Диагональные элементы \( p_{n}(t) ; n=0,1, \ldots \), оператора \( S_{t} \)

удовлетворяют уравнению чистого рождения
\[
\frac{d p_{n}(t)}{d t}=-(n+2)(n+1) p_{n}(t)+n(n-1) p_{n-2}(t),
\]

минимальное решение которого неконсервативно, \( \sum_{n=0}^{\infty} p_{n}(t)<1 \) при \( t>0 \).

Дэвис дал достаточные условия консервативности, пригодные для класса моделей квантовой диффузии. Оригинальные общие условия консервативности, основанные на аналогиях с классической теорией марковских процессов, предложил А. М. Чеботарев в [49], [35]. Рассмотрим для простоты случай формального инфинитезимального оператора
\[
\mathscr{L}[X]=L^{*} X L+K^{*} X+X K,
\]

где \( L, L^{*}, K, K^{*} \) – операторы, имеющие плотную общую инвариантную область определения \( \mathscr{D} \). Предполагается, что \( \mathscr{D} \) существенная область определения для операторов \( K, K^{*} \), которые являются инфинитезимальными операторами сильно непрерывных сжимающих полугрупп в \( \mathscr{C} \), и что \( K=-\frac{1}{2} L^{*} L+ \) \( +i H \), где \( H \)-самосопряженный оператор. Условия консервативности имеют вид
\[
\left[L, L^{*}\right] \geqslant-c \mathrm{I}, i\left[L^{*} L, H\right] \geqslant-c L^{*} L,
\]

где \( c>0 \) и неравенства понимаются как неравенства для соответствующих форм, определенных на \( \mathscr{D} \). Представление о диапазоне применимости этих условий дают два примера.

Пример 2. Пусть \( \mathscr{G}=L^{2}(\mathbf{R}), Q \) – ператор умножения на \( x, P=i^{-1} \frac{d}{d x}, a(x) \) – дважды непрерывно дифференцируемая функция. Рассмотрим формальное выражение
\[
\mathscr{L}[\ddot{X}]=P a(Q) X a(Q) P-P a(Q)^{2} P \circ \dddot{X} .
\]

Если \( X \)-оператор умножения на дважды непрерывно дифференцируемую функцию \( f(x) \), то \( \mathscr{L}[X] \) есть оператор умножения на \( \frac{1}{2} \frac{d}{d x}\left(a(x)^{2} \frac{d f}{d x}\right) \), т. е. совпадает с инфинитезимальным оператором симметричной диффузии на коммутативной подалгебре \( L^{\infty}(\mathbf{R}) \subset \mathfrak{B}\left(L^{2}(\mathbf{R})\right) \).
Условия А. M. Чеботарева выполняются, если
\[
\sup _{x} a(x) a^{\prime \prime}(x)<\infty \text {. }

Пример 3. В обозначениях предыдущего примера рассмотрим выражение
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}[X]= & \int_{-\infty}^{\infty} m(d \xi) c(Q, \xi)^{*} V_{\xi}^{*} X V_{\xi} c(Q, \xi)- \\
& -\int_{-\infty}^{\infty} m(d \xi)|c(Q, \xi)|^{2} \tilde{X},
\end{aligned}
\]

где \( V_{x}=\exp (-i x P), m \) – вероятностная мера на \( \mathbf{R}, c \) – комплексная измеримая функция, такая что \( x(x) \equiv \int m(d \xi) \mid c(x \), \( \xi)\left.\right|^{2}<\infty \) для всех \( x \). На коммутативной подалгебре \( L^{\infty}(\mathbf{R})(2.8) \) совпадает с инфинитезимальным оператором скачкообразного марковского процесса в \( \mathbf{R} \) с интенсивностью скачков \( x(x) \). Достаточные условия консервативности выполняются, если
\[
\sup _{x} \int m(x \mid d \xi)[\mu(x+\xi)-x(x)]<\infty,
\]

где \( m(x \mid d \xi)=m(d \xi)|c(x, \xi)|^{2} / x(x) \) – условные вероятности скачков.

Полученные в [49] условия консервативности позволяют рассмотреть также суммы выражений типа (2.7), (2.8) и гамильтоновых членов вида \( i[H, X] \) с неограниченным \( H \).