Если Ф – динамическое отображение, то семейство \( \left\{\Phi^{k} ; k=0,1, \ldots\right\} \) можно рассматривать как динамическую полугруппу с дискретным временем. Асимптотические свойства таких полугрупп при \( k \rightarrow \infty \) являются нетривиальным обобщением эргодической теории для классических цепей Маркова. Свойство полной положительности используется при этом лишь постольку, поскольку оно влечет неравенство Кэдисона-Шварца (1.2), а эргодические теоремы для средних верны для положительных отображений.

В большинстве работ в той или иной форме присутствует предположение, что Ф имеет точное нормальное инвариантное состояние, т. е. состояние с невырожденным оператором плотности \( S_{\infty} \), такое, что \( \operatorname{Tr} S_{\infty} \Phi[X]=\operatorname{Tr} S_{\infty} X \) для всех \( X \in \mathcal{B}(\mathscr{H}) \). Имеет место эргодическая теорема для средних
\[
w^{*}-\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k} \Phi^{k}[X]=\mathscr{E}_{\infty}[X]
\]

где \( \mathscr{E}_{\infty} \) – условное ожидание на подалгебру \( \mathfrak{A}_{\infty} \) инвариантных элементов Ф. В разной степени общности этот результат был получен Я. Г. Синаем, Е. А. Морозовой и Н. Н. Ченцовым, Кюммерером и другими авторами (см. обзор [27]). Соотношение (2.11) можно рассматривать как обобщение закона больших чисел. Много внимания было уделено распространению теорем типа (2.11) на неограниченные операторы и изучению некомму-

тативного аналога сходимости почти наверное в алгебрах фон Неймана. Подробный обзор этих результатов дан В. В. Аншелевичем и М. Ш. Гольдштейном в [34], Петцем в [141], Яйте [111].

Отображение Ф неприводимо (Дэвис, Эванс), если не существует проектора \( P
eq 0, \mathrm{I} \), такого что \( \Phi[P]=P \). Последнее равенство равносильно тому, что подалгебра операторов вида \( P X P ; P \in \mathscr{B}(\mathscr{H}) \) инвариантна относительно Ф. Неприводимость эквивалентна единственности инвариантного состояния \( S_{\infty} \) и одномерности подалгебры \( \mathfrak{A}_{\infty} \). При этом в формуле \( (2.11) \mathscr{E}_{\infty}[X]= \) \( =\left(\operatorname{Tr} S_{\infty} X\right) \cdot \) I. Для неприводимости отображения Ф, записанного в виде (1.4), необходимо и достаточно, чтобы \( \left\{V_{n} ; n=1,2, \ldots\right. \) \}\( ^{\prime \prime}=\mathfrak{g}(\mathscr{H}) \), где \( \mathfrak{I}^{\prime \prime}=\left(\mathfrak{A}^{\prime}\right)^{\prime} \). Для неприводимого отображения имеет место аналог теоремы Перрона-Фробениуса, отвечающий разложению замкнутого класса состояний цепи Маркова на подклассы (Эванс, Хег-Крон, Альбеверио; см. обзор [27]). Случай \( \operatorname{dim} \mathscr{H}<\infty \) детально рассмотрен также в книге Т. А. Сарымсакова [31].

Пусть теперь \( \left\{\Phi_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)- квантовая динамическая полугруппа, имеющая точное нормальное инвариантное состояние \( S_{\infty} \). Для нее также имеет место эргодическая теорема для средних (см. обзоры [27], [94]). Неприводимые полугруппы изучали Дэвис, Эванс, Шпон, Фриджерио (см. [78], [152]). Необходимое и достаточное условие неприводимости динамической полугруппы с инфинитезимальным оператором (2.5) состоит в том, что
\[
\left\{H, L_{i}, L_{j}^{*} ; j=1,2, \ldots\right\}^{\prime}=\mathfrak{B}(\mathscr{H}) .
\]

Для неприводимых квантовых динамических полугрупп с непрерывным временем имеет место существенное усиление эргодической теоремы (см. [94])
\[
w^{*}-\lim _{t \rightarrow+\infty} \Phi_{t}[X]=\left(\operatorname{Tr} S_{\infty} X\right) \cdot \mathrm{I} .
\]

Этот факт не переносится на динамические полугруппы в произвольных алгебрах фон Неймана. Обобщения на этот случай других асимптотических свойств, спектральной теории и теоремы Перрона-Фробениуса подробно рассмотрены в обзоре Гроха \( [94] \).

Основные физические примеры эргодических динамических полугрупп относятся к классу квазисвободных полугрупп, для которых эргодичность устанавливается непосредственно (см. об3ор \( [27]) \).