Пусть \( \mathfrak{b} \) — гильбертово пространство. Симметричное пространство Фока, ассоциированное с \( \mathfrak{b} \), определяется как
\[
\Gamma(\mathfrak{b})=\sum_{n=0}^{\infty} \oplus \Gamma_{n}(\mathfrak{h}),
\]

где \( \Gamma_{0}(\mathfrak{h})=\mathbf{C}, \Gamma_{n}(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}^{s^{n}} \) — симметризованная \( n \)-я тензорная степень пространства \( \mathfrak{h} \) (см. П. 1.3.1). \( \Gamma_{n}(\mathfrak{h}) \) называется \( n \)-частичным подпространством, \( \Gamma_{0}(\mathfrak{h}) \)-вакуумным подпространством. В квантовой физике \( \Gamma(\mathfrak{h}) \) описывает систему из переменного (неограниченного) числа частиц (бозонов [6], [7]).

В интересующем нас случае, когда \( \mathfrak{h}=L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right) \), пространство Фока \( \Gamma(\mathfrak{h}) \) состоит из бесконечных последовательностей
\[
\psi=\left[f_{0}, f_{1}(t), \ldots, f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right), \ldots\right] \text {, }
\]

где \( f_{0} \mathrm{EC}, f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) \)-комплексная симметричная квадратично-интегрируемая функция от \( t_{1}, \ldots, t_{n} \in \mathbf{R}_{+} \), причем
\[
\langle\psi \mid \psi\rangle \equiv \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \int_{0}^{\infty} \ldots \int_{0}^{\infty}\left|f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\right|^{2} d t_{1} \ldots d t_{n}<\infty .
\]

Удобная модификация этого представления была предложена Маассеном в [142]. Пусть \( \tau=\left\{t_{1}, \ldots, t_{n}\right\} \)-цепь в \( \mathbf{R}_{+} \), т. е. подмножество \( \mathbf{R}_{+} \)конечной мощности \( |\tau|=n \), упорядоченное так, что \( t_{1}<\ldots<t_{n} \). Обозначая \( \mathfrak{P} \) множество всех цепей, \( \mathfrak{P}_{n}- \) множество цепей мощности \( n \), имеем \( \mathfrak{P}=\bigcup_{n=0}^{\infty} \mathfrak{P}_{n} \), где \( \mathfrak{P}_{0}=\{\varnothing\} \). Определим на \( \mathfrak{P} \sigma \)-конечную меру \( \mu(d \tau) \), которая совпадает с мерой \( d t_{1} \ldots d t_{n} \) на \( \mathfrak{p}_{n}, n>0 \), и \( \mu(\varnothing)=1 \). Для \( \psi \in \Gamma(\mathfrak{b}) \) положим \( \psi(\tau)=f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) \), егли \( |\tau|=n>0 \) и \( \psi(\varnothing)=f_{0} \). Симметричная функция \( f_{n} \) однозначно определяется своим ограничением на \( \mathfrak{P}_{n} \), причем \( \frac{1}{n !} \int_{0}^{\infty} \ldots \int_{0}^{\infty}\left|f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\right|{ }^{2} d t_{1} \ldots d t_{n}= \) \( =\int_{\mathfrak{P}_{n}}|\psi(\tau)|^{2}{ }_{\mu}(d \tau) \), так что
\[
\langle\psi \mid \psi\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{\mathfrak{P}}|\psi(\tau)|{ }^{2} \mu(d \tau)=\int_{\mathfrak{P}}|\psi(\tau)|^{2} \dot{\mu}(d \tau) .
\]

Для любого \( t \geqslant 0 \) определим операторы \( A(t), A^{+}(t), \Lambda(t) \) соотношениями
\[
\begin{aligned}
(A(t) \psi)(\tau) & =\int_{0}^{t} \psi(\tau \cup\{s\}) d s, \\
\left(A^{+}(t) \psi\right)(\tau) & =\sum_{s \in \tau} 1_{[0, t]}(s) \psi(\tau \backslash\{s\}), \\
(\Lambda(t) \psi)(\tau) & =\sum_{s \in \tau} 1_{[0, t]}(s) \psi(\tau) .
\end{aligned}
\]

Оператор \( A(t) \) переводит \( \Gamma_{n} \equiv \Gamma_{n}\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \)в \( \Gamma_{n-1}, A^{+}(t) \) переводит \( \Gamma_{n} \) в \( \Gamma_{n+1} \), и \( \Lambda(t) \) переводит \( \Gamma_{n} \) в \( \Gamma_{n} \). В квантовой физике \( A(t) \) является оператором уничтожения (бозона на временном отрезке \( [0, t]), A^{+}(t) \) — оператором рождения, \( \Lambda(t) \) — оператором числа частиц (бозонов). Общей инвариантной областью, определения является подпространство \( \Gamma_{\infty} \), состоящее из векторов \( \psi \in \Gamma(b) \) таких, что

\[
\int_{\mathfrak{P}} \lambda^{|\tau|}|\psi(\tau)|^{2} \mu(d \tau)<\infty
\]

для всех \( \lambda>0 \). Операторы \( A(t), A^{+}(t) \) однозначно продолжаются до замкнутых взаимно сопряженных операторов (для которых сохраняются прежние обозначения). Операторы \( \Lambda(t) \), а также
\[
Q(t)=A(t)+A^{+}(t), P(t)=i\left(A^{+}(t)-A(t)\right)
\]

являются существенно самосопряженными на \( \Gamma_{\infty} \) (см., например, [6], [29]).

Из определений (1.2) вытекают следующие коммутационные соотношения на \( \Gamma_{\infty} \)
\[
\begin{array}{c}
{[A(t), A(s)]=0, \quad\left[A^{+}(t), A^{+}(s)\right]=0,} \\
{\left[A(t), A^{+}(s)\right]=(t \wedge s) \mathrm{I},} \\
{[\Lambda(t), \Lambda(s)]=0,} \\
{[\Lambda(t), A(s)]=-A(t \wedge s), \quad\left[\Lambda(t), A^{+}(s)\right]=A^{+}(t \wedge s),}
\end{array}
\]

где \( t \wedge s=\min (t, s) \). Отсюда следует, что
\[
\begin{array}{c}
{[Q(t), Q(s)]=0, \quad[P(t), P(s)]=0,} \\
{[Q(t), P(s)]=2 i(t \wedge s) \mathrm{I},} \\
{[\Lambda(t), Q(s)]=-i P(t \wedge s), \quad[\Lambda(t), P(s)]=i Q(t \wedge s) .}
\end{array}
\]

Пусть \( f
otin L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right) \). Экспоненциальным вектором называется вектор \( \psi_{f} \in \Gamma(\mathfrak{h}) \) такой, что \( \psi_{f}(\varnothing)=1, \quad \psi_{f}(\tau)=\prod_{t} \in^{\tau} f(t) \). Скаля \( \mathrm{p}- \) ное произведение двух экспоненциальны векторов
\[
\left\langle\psi_{f} \mid \psi_{g}\right\rangle=\exp \int_{0}^{\infty} \overline{f(t)} g(t) d t .
\]
\( И_{3}(1.2) \) следует, что \( A(t) \psi_{f}=\left(\int_{0}^{t} f(s) d s\right) \cdot \psi_{f} \cdot \)
Вектор \( \psi_{0} \), соответствующий \( f \equiv 0 \), называется вакуумным вектором. Для него
\[
A(t) \psi_{0}=0, \Lambda(t) \psi_{0}=0 .
\]

Линейную оболочку семейства экспоненциальных векторов обозначим \( \Gamma_{e} \). Она плотна в \( \Gamma(\mathfrak{h}) \) (см., например, [96]).