Пусть \( \mathscr{H}_{1}, \mathscr{H}_{2} \) – гильбертовые пространства со скалярными произведениями \( \langle\cdot \mid \cdot\rangle_{1} \) и \( \langle\cdot \mid \cdot\rangle_{2} \). В множестве \( \mathscr{L} \) формальных линейных комбинаций элементов \( \psi_{1} \times \psi_{2} \in \mathscr{H}_{1} \times \mathscr{H}_{2} \quad \) введем положительно определенную эрмитову форму, полагая
\[
\left\langle\varphi_{1} \times \varphi_{2} \mid \psi_{1} \times \psi_{2}\right\rangle=\left\langle\varphi_{1} \mid \psi_{1}\right\rangle_{1}\left\langle\varphi_{2} \mid \psi_{2}\right\rangle_{2}
\]

и продолжая ее на \( \mathscr{L} \) по линейности. Пополнение (факторизованного по нулевому подпространству формы) пространства \( \mathscr{L} \) является гильбертовым пространством, которое называется тензорныи произведением \( \mathscr{H}_{1}, \mathscr{H}_{2} \) и обозначается \( \mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2} \). Вектор пространства \( \mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2} \), соответствующий классу эквивалентности векторов \( \psi_{1} \times \psi_{2} \in \mathscr{L} \), обозначается \( \psi_{1} \otimes \psi_{2} \).

Если \( \mathscr{H}_{j}=L^{2}\left(\Omega_{3}, \mu_{j}\right) ; j=1,2 \), то пространство \( \mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2}= \) \( =L^{2}\left(\Omega_{1} \times \Omega_{2}, \mu_{1} \times \mu_{2}\right) \) состоит из всех функций \( \psi\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \), квадратично интегрируемых по мере \( \mu_{1} \times \mu_{2} \), причем вектор \( \psi_{1} \otimes \psi_{2} \) определяется функцией \( \psi_{1}\left(\omega_{1}\right) \psi_{2}\left(\omega_{2}\right) \).

Тензорное произведение операторов \( X_{1} \otimes X_{2} \), где \( X_{j} \) – оператор в \( \mathscr{H}_{j} \), определяется формулой
\[
\left(X_{1} \otimes X_{2}\right)\left(\psi_{1} \otimes \psi_{2}\right)=X_{1} \psi_{1} \otimes X_{2} \psi_{2} .
\]

Если \( \mathscr{H}_{j} \) – конечномерные (комплексные) гильбертовы пространства, то
\[
\operatorname{dim} \mathfrak{O}\left(\mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2}\right)=\operatorname{dim} \mathfrak{O}\left(\mathscr{H}_{1}\right) \operatorname{dim} \mathfrak{O}\left(\mathscr{H}_{2}\right) .
\]

Если же \( \mathscr{H}_{j} \) – вещественные гильбертовы пространства, то здесь имеет место знак \( > \), а для кватернионных гильбертовых пространств (при некотором разумном определении \( \mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2} \) ), знак \( < \). Это обстоятельство рассматривается как косвенный
\( 3-9280 \)

аргумент в пользу поля комплексных чисел в аксиоматической квантовой механике.

Аналогично определяется тензорное произведение любого конечного числа гильбертовых пространств \( \mathscr{H}_{1} \otimes \ldots \otimes \mathscr{H}_{n} \). В квантовой механике \( \mathscr{H}_{1} \otimes \ldots \otimes \mathscr{H}_{n} \) описывает систему из \( n \) различимых частиц. В статистической механике приходится рассматривать системы неразличимых частиц – бозонов или фермионов. В \( n \)-кратном тензорном произведении \( \mathscr{H}^{\otimes n} \) выделяются два подпространства: симметричное тензорное произведение \( \mathscr{H}^{s n} \), описывающее бозоны, и антисимметричное тензорное произведенне \( \mathscr{H}^{a n} \), описывающее фермионы (в случае \( \mathscr{H}=L^{2}(\Omega, \mu \) ) первое состоит из симметричных, а второе – из антисимметричных функций \( \psi\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right) \) аргументов \( \left.\omega_{1}, \ldots, \omega_{n} \in \Omega\right) \). Системы из переменного (неограниченного) числа частиц описываются пространствами Фока: симметричным пространством \( \Gamma_{a}(\mathscr{H})=\sum_{n=0}^{\infty} \oplus \) действует специальное представление канонических коммутационных (соответственно, антикоммутационных) соотношений, связанное с процедурой вторичного квантования (см. [6], [51], [70]).