Если \( \boldsymbol{M} \) в соотношении (3.1) ортогональное разложение единицы, то пара (V, M) называется системой импримитивности. Это понятие, введенное Дж. Макки (см. [126]), играет важную роль в теории представлений групп: представление V продолжается до системы импримитивности тогда и только тогда, когда оно индуцировано с подгруппы \( G / \mathscr{X} \). Если же \( \mathbf{M} \) – произвольное ковариантное разложение единицы, то ( \( \mathbf{V}, \mathbf{M} \) ) называется обобщенной системой импримитивности. Имеет место следующее обобщение теоремы М. А. Наймарка о расширении.

Tеорема ([72], [148]). Пусть \( G \)-локально компактная группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетности, \( (\mathscr{X}, \mathscr{B}(\mathscr{X})) \) – стандартное измеримое пространство. Пусть \( (\mathbf{V}, \mathbf{M}) \) – обобщенная система импримитивности в \( \mathscr{H} \), тогда существуют изометрическое вложение \( W \) пространства \( \mathscr{H} \) в некоторое гильбертово пространство \( \widetilde{\mathscr{H}} \) и система импримитивности ( \( \tilde{\mathbf{V}}, \mathbf{E}) \) в \( \mathscr{H} \), такие что
\[
V_{g}=W^{*} \tilde{V}_{g} W ; \quad M(B)=W^{*} E(B) W .
\]
\( (\tilde{V}, \mathrm{E}) \) унитарно эквивалентно системе импримитивности, продолжающей представление в \( \widetilde{\mathscr{H}}=L_{\mathscr{H}}^{2}(\mathscr{X}, \mu) \), инд уцированное с подгруппы \( G / \mathscr{X}{ }^{1)} \).

Для иллюстрации рассмотрим пару \( (\mathbf{V}, \mathbf{M}) \), где \( \mathbf{V} \) – неприводимое квадратично интегрируемое представление, \( \mathbf{M} \) дается формулой (3.6). Искомое расширение в \( \mathscr{H}=L^{2}(G, \mu) \) является модификацией конструкции для произвольной переполненной системы (см. п. 2.1.1), именно
\[
\tilde{V}_{g} f(x)=f(g x) ; \quad E(B) f(x)=1_{B}(x) f(x),
\]

причем вложение \( W \) действует по формуле \( W \psi(g)=\langle\psi(g) \mid \psi\rangle \). Подпространство \( W \mathscr{C} \subset L^{2}(G, \mu) \) связано с воспроизводящим ядром \( \mathscr{K}^{\prime}\left(g, g^{\prime}\right)=\left\langle\psi(g) \mid \psi\left(g^{\prime}\right)\right\rangle=\left\langle\psi_{0} \mid V\left(g^{-1} g^{\prime}\right) \psi_{0}\right\rangle \). Связь между обобщенными когерентными состояниями и индуцированными представлениями подробно исследовал Скутару [148]. В общем случае Қаттанео [73] показал, что \( \mathbf{M} \) имеет ограниченную плотность \( P(x) \) относительно квазиинвариантной меры \( \mu \) на \( \mathscr{X} \) тогда и только тогда, когда подпространство \( W \mathscr{H} \subset L \stackrel{2}{\mathscr{K}}(\mathscr{X}, \mu) \) является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром (со значениями в \( \mathfrak{Y}\left(\mathscr{K}^{\prime}\right) \) ).