Вернемся к колмогоровой модели и рассмотрим случайную величину (0.6). В каждой точке \( \omega Є \Omega \) она с вероятностью 1 принимает одно из значений \( x_{j} \). В математической статистике, в частности в теории статистических решений полезно рассмотрение «рандомизованных» случайных величин, которые определяются указанием вероятностей \( M_{j}(\omega),\left(0 \leqslant M_{j}(\omega) \leqslant 1\right) \) принятия значения \( x_{j} \) для любого элементарного события \( \omega \). Набор функций \( \boldsymbol{M}=\left\{M_{j}(\omega)\right\} \) характеризуется условиями
\[
M_{j}(\omega) \geqslant 0 ; \quad \sum_{j=1}^{n} M_{j}(\omega)=1 ; \quad \omega \in \Omega,
\]

и описывает неточное измерение случайной величины \( X \), т. е. измерение со случайными ошибками. Распределение вероятностей такого измерения относительно вероятностной меры \( P \) дается формулой
\[
\mu_{P}^{\mathrm{M}}\left(x_{j}\right)=\int_{\Omega} P(d \omega) M_{j}(\omega) .
\]

В частности, измерение является точным (безошибочным), если \( M_{j}(\omega)=E_{j}(\omega) \). Таким образом возникает другая классическая статистическая модель, которую по имени создателя теории статистических решений можно назвать моделью Вальда.

Естественно рассмотреть квантовый аналог модели Вальда, в которой наблюдаемая с конечным множеством значений описывается конечным разложением единицы, т. е. семейством матриц (операторов) \( \mathbf{M}=\left\{M_{j}\right\} \), удовлетворяющим условиям
\[
M_{j} \geqslant 0 ; \quad \sum_{j=1}^{n} M_{j}==1 .
\]

Вероятность \( j \)-го исхода в состоянии \( S \) определяется формулой, аналогичной \( (0.9) \)
\[
\mu_{S}^{M}\left(x_{j}\right)=\operatorname{Tr} S M_{j} .
\]

Эти определения естественно переносятся и на наблюдаемые с произвольным множеством значений. Так возникает обобщенная статистическая модель квантовой механики (см. \( \S 2.1 \) ).

Общие разложения единицы в квантовой теории появляются на рубеже 70 -х годов. К этому независимо приводят исследования по квантовой аксиоматике (Г. Людвиг), по проблеме воспроизводимости, связанной с повторными измерениями (Э. Б. Дэвис и Дж. Льюис); по квантовой теории статистических решений (А.С. Холево) и другие работы. Обобщенная статистическая модель квантовой механики является логическим следствием ее вероятностной структуры и дает основу для рассмотрения ряда вопросов, не находящих удовлетворительного решения в рамках стандартной формулировки.