Пусть W-унитарное представление группы, описывающей кинематику данной квантовой системы (универсальной накрывающей группы Галилея в нерелятивистском или группы Пуанкаре в релятивистском случае), в гильбертовом пространстве \( \mathscr{C} \) и пусть \( \mathbf{U} \) – ограничение \( \mathbf{W} \) на универсальную накрывающую \( G \) группы евклидовых преобразований \( g: x \rightarrow A x+b, x \in \mathbf{R}^{3} \). Система называется локализуемой по Вайтману, если в \( \mathscr{K} \) существует ортогональное разложение единицы Е на \( \sigma \)-алгебре \( \mathscr{B}\left(\mathbf{R}^{3}\right) \) борелевских подмножеств координатного пространства \( \mathbf{R}^{3} \), удовлетворяющее условию евклидовой ковариантности
\[
U_{g}{ }^{*} E(B) U_{g}=E\left(g^{-1} B\right) ; g \in G, B \in \mathscr{B}\left(\mathbf{R}^{3}\right) .
\]

При этом условии для любой области \( B \subset \mathbf{R}^{3} \) найдется вектор состояния \( \psi \) такой, что \( \langle\psi \mid E(B) \psi\rangle=1 \), т. е. вероятность обнаружения системы в области \( B \) равна 1. Для локализуемой системы определены совместимые наблюдаемые координат
\[
Q_{j}=\iiint x_{j} E\left(d x_{1} d x_{2} d x_{3}\right) ; j=1,2,3,
\]

ковариантные относительно евклидовых преобразований.
Используя то обстоятельство, что (U, E) – система импримитивности, можно доказать, что локализуемыми по Вайтману являются все массивные частицы и релятивистские безмассовые частицы с нулевой спиральностью. Безмассовые частицы с ненулевой спиральностью (фотон, нейтрино) оказываются нелокализуемыми (Ньютон, Вигнер, 1949, Вайтман, 1962). Такой вывод не согласуется с экспериментальной локализуемостью фотона; более того, как показал Хегерфельдт, такое понятие локализуемости приводит к противоречию с требованием причинности в релятивистской динамике (см., например, [55]). Эти трудности снимаются, если в определении локализуемости допускаются произвольные разложения единицы. Неортогональное разложение единицы \( \mathbf{M} \), описывающее локализацию фотона, было указано, в частности, в работах Kрауса (в сб. [159]), А. С. Холево [99]. Полная классификация соответствующих обобщенных систем импримитивности, при дополнительном условии ковариантности относительно преобразований подобия, включающая

характеризацию крайних точек, дана Кастрижьяно [71]. Релятивистские безмассовые частицы оказываются прибли женно локализуемыми в том смысле, что \( \sup ^{2}\langle\psi \mid M(B) \psi\rangle=1 \) для любой области \( B \subset \mathbf{R}^{3} \). Наблюдаемые координаты, определенные соотношением (3.15), являются самосопряженными, но неперестановочными операторами и поэтому не имеют совместной спектральной меры.

В ряде работ, обзор которых имеется в статьях Али, Пруговечки [55], развивалась идея стохастической локализуемости в фазовом пространстве. Результаты этих работ также указывают на то, что обобщенная статистическая модель квантовой механики дает возможность, по крайней мере, смягчить известные противоречия между релятивистской инвариантностью и нелокальностью квантовомеханического описания.