Динамическая полугруппа является некоммутативным обобщением полугруппы переходных операторов в теории марковских случайных процессов. Возможны два эквивалентных способа задания динамической полу. группы – п пространстве состояний и в алгебре наблюдаемых системы. Квантовой динамической полугруппой в пространстве состояний называется семейство динамических отображений \( \left\{\Psi_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)банахова пространства ядерных операторов \( \mathfrak{I}(\mathscr{H}) \), такое что
1) \( \Psi_{t} \cdot \Psi_{s}=\Psi_{t+s} ; t, s \in \mathbf{R}_{+} \);
2) \( \Psi_{0}=I d \) (тождественное отображение);
3) \( \left\{\Psi_{t}\right\} \) силно непрерывна, т. е. \( \lim _{t \rightarrow 0}\left\|\Psi_{t}[T]-T\right\|_{1}=0 \) для любо го \( T \in \mathfrak{E} \) ( \( \mathscr{G} \) ).

Из общей теории полугрупп в банаховом пространстве (см., например, [9, гл. 3]) вытекает, что существует плотно определенный инфинитезимальный оператор
\[
\mathscr{H}[T]=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\Psi_{t}[T]-T}{t} .
\]

Если \( \Psi_{t} \) непрерывна по норме, т. е. \( \lim _{t \rightarrow 0}\left\|\Psi_{t}-\mathrm{Id}\right\|=0 \), то \( \mathscr{K}- \) всюду определенное, ограниченное отображение \( \mathfrak{T}(\mathscr{H}) \). Если \( S_{0} \) начальное состояние, то функция \( S_{t}=\Psi_{t}\left[S_{0}\right] \) удовлетворяет квантовому марковскому управляющему уравнению\”)
\[
\frac{d S_{t}}{d t}=\mathscr{K}\left[S_{t}\right]
\]

которое является некоммутативным аналогом уравнения Колмогорова-Чепмена. В физических приложениях динамические полугруппы и возникают как решения марковских управляющих уравнений.

Динамическая полугруппа в алгебре наблюдаемых – это полугруппа динамических отображений \( \left\{\Phi_{t} ; t \mathbf{G R}_{+}\right\} \)алгебры \( \mathfrak{B}(\mathscr{G}) \), такая что \( \Phi_{0}=\operatorname{Id} \) и \( w^{*}-\lim _{t \rightarrow 0} \Phi_{t}[X]=X^{*} \) для любого \( X \in \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \).
1) Английский термин – master equation.

Мы будем в основном рассматривать полугруппы, непрерывные по норме, т. е. такие, что \( \lim _{t \rightarrow 0}\left\|\Phi_{t}-\mathrm{Id}\right\|=0 \).

Пример ([116]). Пусть \( G \)-сепарабельная локально компактная группа, \( g \rightarrow V_{g} \) – непрерывное унитарное представление \( G \) в \( \mathscr{C} \) и \( \left\{\mu_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)- непрерывная сверточная полугруппа вероятностных мер на \( G \) (см., например, [13]). Соотношения
\[
\Psi_{t}[S]=\int_{G} V_{g} S V_{g}^{*} \mu_{t}(d g) ; \Phi_{t}[X]=\int_{G} V_{g}^{*} X V_{g} \mu_{t}(d g)
\]

задают квантовые динамические полугруппы, соответственно, в \( \mathfrak{I}(\mathscr{H}) \) и в \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \).

В частности, пусть \( A \)-эрмитов оператор в \( \mathscr{H} \), тогда выражение
\[
\Psi_{t}[S]=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2 t}} e^{-i A x} S e^{i A x},
\]

соответствующее гауссовской сверточной полугруппе на \( \mathbf{R} \), определяет динамическую полугруппу с инфинитезимальным оператором
\[
\mathscr{K}[S]=A S A-A^{2} \circ S .
\]

Если \( U \) – унитарный оператор, \( \lambda>0 \), то
\[
\Psi_{t}[S]=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{n}}{n !} e^{-\lambda t} U^{n} S U^{* n}
\]

является динамической полугруппой, отвечающей пуассоновской сверточной полугруппе на \( \mathbf{Z} \), с инфинитезимальным оператором
\[
\mathscr{K}[S]=\lambda\left[U S U^{*}-S\right] .
\]

Понятие динамической полугруппы было предложено Коссаковским [116] (см. также Дэвис [78]), однако без условия полной положительности, которое позднее было введено Линдбладом [123]. Многие физические примеры укладываются в общую схему квазисвободных динамических полугрупп, которые являются квантовым аналогом гауссовских марковских полугрупп. В случае ККС такие полугруппы характеризуются условием, что они переводят гауссовские состояния в гауссовские (см. п. 1.2.4). В статистической механике они описывают необратимую динамику открытых Бозе- или Ферми-систем с квадратичным взаимодействием (см. обзоры [27], [56]).