Пусть \( g \rightarrow V_{g} \) – представление в \( \mathscr{C} \) группы \( G \), описывающей симметрии окружения открытой квантовой системы. Динамическая полугруппа \( \left\{\Psi_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)называется ковариантной, если
\[
\Psi_{t}\left[V_{g} S V_{g}^{*}\right]=V_{g} \Psi_{t}[S] V_{g}{ }^{*}
\]

для всех \( S \in S(\mathscr{H}), g \in G, t \in \mathbf{R}_{+} \). Структура ковариантных вполне положительных отображений рассмотрена в [149]. В конечномерном случае получена достаточно полная классифнкация инфинитезимальных операторов динамических полугрупп, ковариантных относительно групп пространственных симметрий [93], [1].

Пример. Рассмотрим эволюцию (2.1) открытой системы со спином \( 1 / 2(\operatorname{dim} \mathscr{H}=2 ; \) см. п. 1.1.6), ковариантню относительно действия группы SO(2), соответствующей аксиально симметричному окружению. Представление имеет вид \( \varphi \rightarrow e^{i \sigma_{4} \sigma_{3}} \), где \( \varphi \in[0,2 \pi) \). Общий вид инфинитезимального оператора ковариантной динамической полугруппы
\[
\mathscr{L}[S]=-i[H, S]+\sum_{j=1}^{1} c_{j}\left(L_{j} S L_{j}^{*}-L_{j}^{*} L_{j} \mathrm{o} S\right),
\]

где \( c_{j} \geqslant 0, \quad H=\frac{1}{2} \omega_{0} \sigma_{3}, L_{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sigma_{1}-i \sigma_{2}\right), \quad L_{0} \equiv \sigma_{3}, \quad L_{1}= \) \( =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sigma_{1}+i \sigma_{2}\right) \). Полагая \( S_{i}=S\left(\mathrm{a}_{t}\right) \), для вектора а име \( _{t} \) имем уравнение Блоха

\[
\frac{d \mathrm{a}_{t}}{d t}=\left[\begin{array}{ccc}
-T_{\perp}^{-1} & \omega_{0} & 0 \\
-\omega_{0} & -T_{\perp}^{-1} & 0 \\
0 & 0 & T_{\sharp}^{-1}
\end{array}\right] \mathrm{a}_{t}+\left[\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
c_{\infty} / T_{\|}
\end{array}\right],
\]

где \( T_{\perp}^{-1}=2 c_{0}+\left(c_{1}+c_{-1}\right), T_{\|}^{-1}=2\left(c_{1}+c_{-1}\right), \quad c_{\infty}=2 T_{\|}\left(c_{1}-c_{-1}\right) \). Уравнение (2.10) описывает релаксацию спина в аксиаљносимметричном магнитном поле. Параметр \( T_{\|}\left(T_{\perp}\right) \) имеет смысл времени продольной (поперечной) релаксации. ГПри \( t \rightarrow+\infty \) \( \mathbf{a}_{t} \rightarrow\left[\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ c_{\infty}\end{array}\right] \), так что \( S_{t} \) стремится к предельному состоянию
\[
S_{\infty}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{I}+c_{\infty} \sigma_{3}\right) .
\]

Инфинитезимальный оператор (2.9) вполне диссипативен, что налагает нетривиальные ограничения на физические параметры эволюции. Именно, \( 2 T_{\perp}^{-1}-T_{\|}^{-1}=2 c_{0} \geqslant 0 \), откуда \( 2 T_{\|} \geqslant \) \( \geqslant T_{\frac{1}{B}}[93] \).

В серии работ, обзор которых имеется в [83], описаны инфинитезимальные операторы инвариантных динамических полугрупп (не обязательно непрерывных по норме), действующих тождественно на алгебре инвариантных элементов.