Аналогом обобщенной наблюдаемой в классической статистике является рандомизированная случайная величина, т. е. переходная вероятность \( \Pi(B \mid \omega) \) из пространства элементарных событий \( \Omega \) в пространстве значений X. Будем далее предполагать, что \( \mathscr{X} \) стандартное пространство. Тогда соотношение
\[
\Pi(B \mid \omega)=1_{B}(f(\omega)) ; \omega \in \Omega,
\]

устанавливает взаимно однозначное соответствие между случайными величинами \( f \) со значениями в \( \mathscr{X} \) и детермини рованными переходными вероятностями, такими что \( \Pi(B \mid \omega)=0 \) или 1 , т. е. \( \Pi(B \mid \omega)^{2}=\Pi(B \mid \omega) \). Переходные вероятности из \( \Omega \) в \( \mathscr{X} \) образуют выпуклое множество, крайними точками которого являются детерминированные переходные вероятности и только они (см., например, [41, гл. II]).

Соотношение между наблюдаемыми и обобщенными наблюдаемыми в квантовом случае значительно сложнее и интереснее. Обозначим \( \mathfrak{R}(\mathscr{X}) \) выпуклое множество обобщенных наблюдаемых со значениями в \( \mathscr{P}, \operatorname{Extr} \mathfrak{M}(\mathscr{X}) \) множество его крайних точек, Conv \( \mathfrak{P} \) выпуклую оболочку подмножества \( \mathfrak{P} \subset \mathfrak{M}(\mathscr{X}) \). В \( \mathfrak{M}(\mathscr{X}) \) вводится естественная топология: последовательность \( \left\{\mathbf{M}^{(n)}\right\} \subset \mathfrak{M}(\mathscr{Q}) \) сходится к \( \mathbf{M} \), если для любого состояния \( S \) последовательность вероятностных мер \( \mu_{s}^{(n)}(B)=\operatorname{Tr} S M^{(n)}(B) \quad \) сходится по вариации \( \quad \) к \( \mu_{s}(B)= \) \( =\operatorname{Tr} S M(B) \); \( \overline{\mathfrak{M}} \) означает замыкание подмножества \( \mathfrak{M} \) в этой топологии. Пусть \( \mathfrak{M}_{0}(\mathscr{X}) \) – подмножество обычных наблюдаемых и \( \mathfrak{M}_{1}(\mathscr{X}) \) – подмножество обобщенных наблюдаемых \( \boldsymbol{M} \), таких что \( \left[M\left(B_{1}\right), M\left(B_{2}\right)\right]=0 \) для всех \( B_{1}, B_{2}
otin \mathscr{B}(\mathscr{X}) \). В работе А. С. Холево [38] показано, что \( \mathbf{M} \in \mathfrak{M}_{1}(\mathscr{X}) \) тогда и только тогда, когда
\[
M(B)=\int_{\mathscr{X}_{1}} I\left(B \mid x_{1}\right) E\left(d x_{1}\right),
\]

где \( \mathbf{E} \) – наблюдаемая со значениями в некотором пространстве гии с классической статистикой, наблюдаемые, описываемые ортогональными разложениями единицы \( \mathbf{E}\left(E(B)^{2}=E(B)\right) \), можно рассматривать как детерминированные (более точное обсуждение см. в [101]). Наблюдаемые из \( \mathfrak{R}_{1}(\mathscr{X}) \), кото-

рые задаются перестановочными разложениями единицы, являются классически-рандомизованными в том смысле, что \( \boldsymbol{M} \in \mathfrak{R}_{1}(\mathscr{X}) \) получается из обычной наблюдаемой путем преобразования (1.8), содержащего внешний классический источник неопределенности. Всякую обобщенную наблюдаемую \( \operatorname{MER}(\mathscr{X}) \) можно рассматривать как квантово-рандомизованную в смысле представления (1.5): она эквивалентна обычной наблюдаемой в расширении исходной системы, включающем независимую квантовую систему. Наконец, точки из \( \operatorname{Extr} \mathfrak{R}(\mathscr{X}) \) представляют собой обобщенные наблюдаемые, в которых неопределенность, обусловленная процедурой измерения, сведена к минимуму.
Обозначим \( m \) мощность множества значений \( \mathscr{R} \).
Теорема. Если \( m=2 \), то \( \mathfrak{M}_{0}(\mathscr{X})=\operatorname{Extr} \mathfrak{P}(\mathscr{X}) \) и \( \mathfrak{R}_{1}(\mathscr{X})= \) \( =\overline{\operatorname{Conv} \mathfrak{R}_{0}(\mathscr{X})}=\mathfrak{M}(\mathscr{X}) . \quad \) Если \( m>2 \), то \( \mathfrak{R}_{0}(\mathscr{X}) \subsetneq \operatorname{Extr} \mathfrak{M}(\mathscr{X}) \) и последнее включение точно. Если же \( \operatorname{dim} \mathscr{H}=\infty \), то \( \overline{\mathfrak{M}_{0}(\mathscr{X})}= \) \( =\mathfrak{M}(\mathscr{X}) \).

Таким образом, ситуация аналогична классической лишь в случае обобщенных наблюдаемых с двумя значениями \( { }^{1)} \). В этом случае \( \mathrm{M}=\left\{M_{0}, M_{1}\right\} \), где \( M_{1}=\mathrm{I}-M_{0} \) и \( \mathfrak{M}(\mathscr{X}) \) как выпуклое подмножество изоморфно порядковому интервалу \( \left\{M_{0}: M_{0} \mathfrak{l}_{h}(\mathscr{H})\right. \), \( \left.0 \leqslant M_{0} \leqslant \mathrm{I}\right\} \), крайние точки которого совпадают с проекторами в \( \mathscr{H} \) (см., например, [78, гл. 2]).

Чтобы доказать, что \( \mathfrak{M}_{0}(\mathscr{X})
eq \operatorname{Extr} \mathfrak{M}(\mathscr{X}) \) при \( m>2 \), достаточно сделать это в случае \( m=3 \) и \( \operatorname{dim} \mathscr{H}=2 \) (см. [43, §1.6]). Рассмотрим неортогональное разложение единицы
\[
M_{k}={ }_{3}^{1}\left|\psi\left(\mathrm{e}_{k}\right)\right\rangle\left\langle\psi\left(\mathrm{e}_{k}\right)\right| ; k=1,2,3,
\]

где \( \psi\left(\mathrm{e}_{k}\right) \) – векторы состояний системы со спином \( \frac{1}{2} \) (см. п. 1.1.6), причем \( \mathbf{e}_{k}, k=1,2,3 \), образуют правильный треугольник. Тот факт, что (1.9) является крайней точкой, можно установить непосредственно, либо воспользовавшись критерием из статьи Штермера в [85]: конечное разложение единицы \( \boldsymbol{M}= \) \( =\left\{M_{1}, \ldots, M_{m}\right\} \) является крайней точкой тогда и только тогда, когда для любых \( X_{1}, \ldots, X_{m} \in \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) из \( \sum_{i=1}^{m} E_{i} X_{i} E_{i}=0 \) следует \( E_{i} X_{i} E_{i}=0 \), где \( E_{i} \) – носитель \( M_{i} \), т. е. проектор на ортогональное дополнение к нулевому подпространству \( M_{i} \). Если \( \operatorname{dim} \mathscr{H}<\infty \), то из наличия крайних точек, не попадающих в \( \mathfrak{M}_{0}(\mathscr{X}) \), следует, что \( \overline{\operatorname{Conv} \mathfrak{M}_{0}(\mathscr{X})}
eq \mathfrak{M}(\mathscr{X}) \).

Интересный пример крайней точки дает неортогональное разложение единицы (1.6).
1) Такие наблюдаемые, называемые «эффектами», играют центральную роль в аксиоматическом подходе Людвига [125], [118].

Доказательство того, что \( \overline{\mathfrak{M}_{0}(\mathscr{X})}=\mathfrak{M}(\mathscr{X}) \) в случае \( \operatorname{dim} \mathscr{H}= \) \( =\infty \), основывается на теореме \( M \). А. Наймарка. Пусть \( \operatorname{MER}(\mathscr{X}) \) и \( \left\{P^{(n)}\right\} \) – последовательность конечномерных проекторов в \( \mathscr{C} \), сильно сходящаяся к I. Тогда \( M^{(n)}(B)=P^{(n)} M(B) P^{(n)} \) – разложение единицы в конечномерном пространстве \( \mathscr{H}^{(n)}=P^{(n)} \mathscr{H} \), которое можно расширить до ортогонального разложения единицы \( \mathbf{E}^{(n)} \) в сепарабельном гильбертовом пространстве \( \tilde{\mathscr{H}}^{(n)} \supset \) \( \supset \mathscr{H}^{(n)} \). Поскольку \( \operatorname{dim} \mathscr{H}=\infty \), можно считать, что \( \tilde{\mathscr{H}}^{(n)}=\mathscr{H} \). Имеет место оценка
\[
\operatorname{var}\left(\mu_{s}{ }^{(n)}-\mu_{s}\right) \leqslant 6\left\|\left(I-P^{(n)}\right) S\right\|_{1},
\]

где \( \mu_{\mathcal{s}}{ }^{(n)}(B)=\operatorname{Tr} S E^{(n)}(B), \mu_{s}(B)=\operatorname{Tr} S M(B) \) [44], доказывающая утверждение. Итак, в случае \( \operatorname{dim} \mathscr{H}=\infty \), все обобщенные наблюдаемые являются предельными точками множества наблюдаемых.