Изложение теории вероятностей принято начинать с конечной схемы. Следуя этой традиции, рассмотрим конечное вероятностное пространство \( \Omega \). Имеют место три тесно связанных между собой факта, которые по-разному выражают классичность вероятностной схемы:
1) множество событий \( A \subset \Omega \) образует булеву алгебру;
2) множество распределений вероятностей \( \left[p_{1}, \ldots, p_{N}\right] \) на \( \Omega \) является симплексом, т. е. выпуклым множеством, в котором каждая точка однозначно представляется в виде смеси (выпуклой комбинации) крайних точек;
3) множество случайных величин \( \left[\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{N}\right] \) на \( \Omega \) образует коммутативную алгебру (относительно поточечного умножения).

Квантовым аналогом этой схемы является модель \( N \)-уровневой системы. Аналог распределения вероятностей-состоя ние такой системы описывается матрицей плотностиэрмитовой \( N \times N \)-матрицей \( S \), удовлетворяющей условиям попожительной определенности и единичности следа
\[
S \geqslant 0, \operatorname{Tr} S=1 ;
\]

аналог случайной величины – наблюда мая описывается произвольной эрмитовой \( N \times N \)-матрицей \( X \). Пусть
\[
\chi^{*}=\sum_{j=1}^{n} x_{j} E_{j}
\]
– спектральное разложение эрмитовой матрицы \( X \), где \( x_{1}<x_{2}<\ldots \) – собственные числа, \( E_{1}, E_{2}, \ldots \) – проекторы на соответствующие собственные подпространства. Набор \( \mathbf{E}= \) \( =\left\{E_{j}\right\} \) образует ортогональное разложение еди ницы:
\[
E_{j} E_{k}=\delta_{j k} E_{j} ; \quad \sum_{j=1}^{n} E_{j}=\mathrm{I},
\]

где I – единичная матрица. Из свойств \( (0.1) \), (0.3) следует, что соотношение
\[
\mu_{S}^{X}\left(x_{j}\right)=\operatorname{Tr} S E_{j} ; \quad j=1, \ldots, n,
\]

задает распределение вероятностей на спектре \( \mathrm{Sp} X=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\} \) наблюдаемой \( X \); в квантовой механике постулируется, что это есть распределение вероятностей наблюдаемой \( X \) в состоянии \( S \).

В частности, среднее значение \( X \) в состоянии \( S \) есть
\[
\mathbf{E}_{S}(X)=\operatorname{Tr} S X \text {. }
\]

Если в этой модели ограничиться рассмотрением только диагональных матриц

то мы возвращаемся к классической схеме с \( N \) элементарными событиями, где, в частности, (0.5) сводится к \( \mathbf{E}_{S}(X)= \) \( =\sum_{j=1}^{N} p_{j} \lambda_{j} \). То же самое мы получили бы, рассматривая только одновременно диагонализуемые, т. е. коммутирующие (перестановочные между собой) матрицы. Поскольку имеются наблюдаемые, описываемые некоммутирующими матрицами, модель \( N \)-уровневой системы не сводится к классической схеме.

Роль индикаторов событий в квантовом случае играют наблюдаемые, принимающие значения 0 или 1 , т. е. эрмитовы идемпотентные матрицы: \( E^{2}=E \). Вводя унитарное координатное пространство \( \mathscr{H}=\mathbf{C}^{N} \), в котором действуют \( N \times N \)-матрицы, такую матрицу \( E \) можно рассматривать как ортогональный проектор на подпространство \( \mathscr{E} \) в \( \mathscr{H} \). Таким образом, квантовые события можно отождествить с подпространствами унитарного пространства \( \mathscr{H} \). Множество квантовых событий, называемое квантовой логикой, частично упорядочено (по включению) и наделено операциями \( \mathscr{E}_{1} \bigvee \mathscr{E}_{2} \) (линейная оболочка подпространств \( \mathscr{E}_{1}, \mathscr{E}_{2} \) ), \( \mathscr{E}_{1} \wedge \mathscr{E}_{2} \) (пересечение подпространств \( \mathscr{E}_{1}, \mathscr{E}_{2} \) ), \( \mathscr{E}^{\prime} \) (ортогональное дополнение) с известными свойствами. Неклассичность модели \( N \)-уровневой системы можно выразить тремя различными утверждениями:
1) квантовая логика событий не является булевой алгеброй, поскольку в ней не выполнено тождество дистрибутивности
\[
\mathscr{E}_{1} \wedge\left(\mathscr{E}_{2} \bigvee \mathscr{E}_{3}\right)=\left(\mathscr{E}_{1} \wedge \mathscr{E}_{\varepsilon}\right) \bigvee\left(\mathscr{E}_{1} \wedge \mathscr{E}_{3}\right)
\]

Вследствие этого, нет «элементарных событий», на которые однозначно распадалось бы любое квантовое событие;
2) выпуклое множество состояний не является симплексом, т. е. представление матрицы плотности в виде смеси крайних точек неоднозначно;
3) комплексная оболочка множества наблюдаемых является некоммутативной (ассоциативной) алгеброй.

В бесконечномерном случае вместо матриц приходится расгатривать операторы, действующие в некотором гильбертовом пространстве \( \mathscr{\mathscr { C }} \). Математически корректное изложение основных понятий квантовой механики в гильбертовом пространстве было впервые дано Дж. фон Нейманом [26]. Он, в частности, подчеркнул существенное различие между эрмитовыми (симметричными) и самосопряженными операторами, которое, конечно, не проводилось в предшествовавших физических работах и указал, что именно условие самосопряженности обеспечивает в случае \( \operatorname{dim} \mathscr{H}=\infty \) аналог спектрального разложения (0.2). Другой круг вопросов в случае \( \operatorname{dim} \mathscr{H}=\infty \) связан с уточнением понятия следа и соответствующего класса операторов с конечным следом. Математическая схема, называемая стандартной формулировкой квантовой механики в гильбертовом пространстве, рассматривается в гл. 1.