Рассмотрим задачу оценивания в семействе состояний \( \left\{S_{\theta}\right\} \), где \( \theta=\left(\theta_{1}, \ldots\right. \) \( \left.\ldots, \theta_{k}\right) \in \mathbf{R}^{k} \). Решающее правило \( \mathbf{M} \) назовем несмещенным, если для всех \( \theta є \Theta \)

\[
\int \ldots \int x_{j} \hat{\mu}_{\theta}^{M}\left(d x_{1} \ldots d x_{k}\right)=\theta_{j} ; \quad j=1, \ldots, k .
\]

В предположении конечности вторых моментов определена матрица ковариации
\[
\mathbf{D}_{\theta}\{\boldsymbol{M}\}=\left[\int \ldots \int\left(x_{i}-\theta_{i}\right)\left(x_{j}-\theta_{j}\right) \mu_{\theta}^{M}\left(d x_{1} \ldots d x_{k k}\right)\right] ; i, j=1, \ldots, k .
\]

В классической статистике хорошо известно неравенство РаоКрамера, ограничивающее снизу матрицу ковариации несмещенных оценок. Входящая в эту границу информационная матрица Фишера однозначно определяется метрической геометрией симплекса «классических состояний», т. е. распределений вероятностей на пространстве элементарных событий \( \Omega \) [50]. В квантовой статистике имеется много неэквивалентных неравенств типа Рао-Крамера, что связано с существенно более сложной геометрией множества состояний.

Поскольку неравенство Рао-Крамера имеет локальный характер, достаточно предполагать, что семейство состояний определено в окрестности фиксированной точки \( \theta \). Введем вещественное гильбертово пространство \( L^{2}\left(S_{\theta}\right) \), определяемое как пополнение множества \( \mathfrak{F}_{h}(\mathscr{C}) \) ограниченных вещественных наблюдаемых относительно скалярного произведения
\[
\langle X, Y\rangle_{\theta}=\operatorname{Re} \operatorname{Tr} Y S_{\theta} X \equiv \operatorname{Tr} S_{\theta} X \circ Y,
\]

где \( X \circ Y=\frac{1}{2}(X Y+Y X) \) – йорданово произведение \( X, Y \). Предположим, что
1) семейство \( \left\{S_{\theta}\right\} \) сильно дифференцируемо в точке \( \theta \) как функция со значениями в \( \mathfrak{T}(\mathscr{H}) \);
2) линейные функционалы \( X \rightarrow \operatorname{Tr} \frac{d S_{\theta}}{d \bar{\theta}_{j}} X \) непрерывны относительно скалярного произведения (2.15).

При этих условиях по теореме Ф. Рисса существуют симметризованные логарифмические производные \( L_{\theta}{ }^{j} \in L^{2}\left(S_{\theta}\right) \), определяемые из условий
\[
\operatorname{Tr} \frac{\partial S_{\theta}}{\partial \theta_{j}} X=\left\langle L_{\theta}^{j}, X\right\rangle, \quad X \in \mathfrak{B}_{h}(\mathscr{H}) .
\]

Формально,
\[
\frac{\partial S_{\theta}}{\partial \theta_{j}}=S_{\theta^{\circ}} L_{\theta}^{j} .
\]

Тогда для любого решающего правила \( \mathbf{M} \), имеющего конечные вторые моменты и удовлетворяющего условию локальной
58

—————————————————————-
0004ru_fizik_book6photo_page-0060.jpg.txt

несмещенности
\[
\int \ldots \int x_{i} \frac{\partial \mu_{\theta}^{M}}{\partial \theta_{j}}\left(d x_{1} \ldots d x_{k}\right)=\delta_{i j} ; \quad i, j=1, \ldots, k,
\]

где \( \frac{\partial \mu_{\theta}^{M}}{\partial \theta_{j}}(B)=\operatorname{Tr} \frac{\partial S_{A}}{\partial \theta_{j}} M(B) \), имеет место неравенство
\[
\mathrm{D}_{\theta}\{\boldsymbol{M}\} \geqslant \mathbf{J}_{\theta}^{-1} .
\]

Здесь \( \quad \mathbf{J}_{\theta}=\left[\left\langle L_{\theta}{ }^{i}, L_{\theta}{ }^{j}\right\rangle_{\theta}\right]_{i, j=1, \ldots, k} \) – вещественная симметричная матрица – аналог информационной матрицы Фишера для симметризованной логарифмической производной.

С другой стороны, введем комплексные гильбертовы пространства \( L_{ \pm}{ }^{2}\left(S_{\theta}\right) \) как пополнения \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) относительно скалярных произведений
\[
\langle X, Y\rangle_{\theta}{ }^{+}=\operatorname{Tr} X^{*} S_{\theta} Y,\langle X, Y\rangle_{\theta}{ }^{-}=\operatorname{Tr} Y S_{\theta} X^{*}
\]

и определим правую и левую логарифмические производные \( L_{\theta}{ }^{ \pm j} \) как решения уравнений
\[
\operatorname{Tr} \frac{\partial S_{\theta}}{\partial \theta_{j}} X=\left\langle L_{\theta}^{ \pm j}, X\right\rangle_{\theta}^{ \pm}, \quad X \in \mathfrak{B}(\mathscr{H}),
\]
(существующие при тех же условиях 1), 2)). Формально
\[
\frac{\partial S_{\theta}}{\partial \theta_{j}}=S_{\theta} L_{\theta}^{+j}=L_{\theta}^{-j} S_{\theta} .
\]

Тогда, при условии (2.18)
\[
\mathbf{D}_{\theta}\{\mathbf{M}\} \geqslant\left(\mathbf{J}_{\theta}^{ \pm}\right)^{-1},
\]

г де \( \mathbf{J}_{\theta}^{ \pm}=\left[\left\langle L_{\theta}^{ \pm i}, L_{\theta}^{ \pm j}\right\rangle_{\theta}^{ \pm}\right]_{i, j=1, \ldots, k} \)–комплексные эрмитовы матрицы, и (2.20) рассматривается как неравенство для эрмитовых матриц.

Формальное определение (2.17) симметризованной логарифмической производной и неравенство (2.19) принадлежит Хелстрому, а неравенство (2.20) – Юну и Лэксу (см. [37, гл. VIII]). Другие неравенства были получены Р. Л. Стратоновичем [155]. Математически корректные определения логарифмических производных и вывод соответствующих неравенств дан в книге [43, гл. VI]. Пространства \( L^{2} \), ассоциированные с квантовым состоянием, полезны и в других вопросах. Элементы этих пространств могут быть интерпретированы как (классы эквивалентности) неограниченных операторов в \( \mathscr{C} \) ([43, гл. II]).

Неравенства (2.19), (2.20) дают существенно различные, несравнимые границы для \( \mathbf{D}_{6}\{\mathbf{M}\} \). В случае одномерного параметра ( \( k=1 \) ) всегда \( J_{\theta} \leqslant J_{\theta}{ }^{ \pm} \), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда \( \left[S_{\theta}, \frac{d S_{\theta}}{d \theta}\right]=0 \). В этом случае неравенство, основанное на симметризованной логарифмической производной, оказывается наилучшим [37, гл. VIII]. С другой стороны, для двупараметрического семейства гауссовских состояний (2.14) неравенство (2.19) дает \( \operatorname{Tr} \mathbf{D}_{\theta}\{\mathbf{M}\} \geqslant 2 \sigma^{2} \), тогда как из (2.20) вытекает \( \operatorname{Tr} \mathbf{D}_{\theta}\{\boldsymbol{M}\} \geqslant 2 \sigma^{2}+1 \). Последняя граница достигается для несмещенных оценок, определяемых операторами типа (1.7). Неравенство (2.20), основанное на правой (или левой) логарифмической производной, вообще лучше приспособлено к задачам оценивания, в которых параметр допускает естественную комплексификацию (в последнем примере \( \theta= \) \( =\alpha+i \beta) \).

Выражение
\[
d\left(S_{1}, S_{2}\right)=\sqrt{2\left(1-\left\|\sqrt{S_{1}} \sqrt{S_{2}}\right\|_{1}\right)}
\]

определяет метрику в множестве операторов плотности \( \mathfrak{S}(\mathscr{G}) \). В более широком контексте алгебр фон Неймана эта метрика, известная как расстояние Бюреса, подробно изучалась Араки, Ульманом и др. (см. обзор Раджио в [141]). Если \( \left\{S_{\theta}\right\} \) – семейство, удовлетворяющее условиям 1), 2), то при \( \Delta \theta \rightarrow 0 \)
\[
d\left(S_{\theta}, S_{\theta+\Delta \theta}\right)^{2} \approx \frac{1}{4} \sum_{i, j=1}^{k}\left\langle L_{0}^{i}, L_{\theta}^{j}\right\rangle_{\theta} \Delta \theta_{i} \Delta \theta_{j} .
\]

Таким образом, расстояние Бюреса эквивалентно в малом римановой метрике, определяемой квантовым аналогом информационной матрицы Фишера. Е. А. Морозова и И. Н. Ченцов в [35] описали всевозможные римановы метрики в \( \Im(\mathscr{H}) \) \( (\operatorname{dim} \mathscr{H}<\infty) \), монотонно инвариантные в категории марковских морфизмов (аффинных отображений ( \( (\mathscr{H}) \) в себя). Минимальной в этом классе является риманова метрика в правой части \( (2.21) \).