Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим последовательное измерение двух величин \( X, Y \), принимающих значения, соответстемой в состоянии \( S \). Совместная вероятность того, что исход первого измерения \( x \) попадает в множество \( A \), а исход второго \( y \) попадает в \( B \) (где \( A \subset \mathscr{X}, B \subset \mathscr{y} \) ) есть где \( \mu_{s}(A)=\mu_{s}(A ; \mathscr{y}) \) — вероятность того, что \( x \in A \), а \( \mu_{s}(B \mid A) \) соответствующая условная вероятность. Обозначим \( S_{A} \) состояние системы после первого измерения (оно зависит также от \( S \), но не зависит от \( B \) ). Тогда, согласно (2.1.4), где \( \mathbf{M} \) — разложение единицы, отвечающее величине \( Y \). Из (1.1), (1.2) видно, что функция множеств должна быть \( \sigma \)-аддитивна по \( A \). Это мотивирует следующее определение (Дэвис и Льюис, 1970). Пусть \( \mathscr{X} \) — множество с \( \sigma \)-алгеброй измеримых подмножеств \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \). Инструментом (в пространстве состояний) со значениями в \( \mathscr{X} \) называется функция множеств \( \mathscr{M} \), заданная на \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \) и удовлетворяющая условиям: где ряд сходится по норме \( \mathfrak{x}(\mathscr{H}) \). —————————————————————- тия, что исход измерения попадает в множество \( B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) \), равна а состояние доли статистического ансамбля, в которой зарегистрировано это событие, дается оператором плотности Переходя к сопряженным отображениям \( \mathfrak{P}(B)=\mathscr{M}(B)^{*} \), получаем формулировку в алгебре наблюдаемых: инструмент это функция множеств \( \mathscr{N} \) на \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \), такая что где ряд сходится \( w^{*} \)-слабо. такая, что Озава [135] показал, что для любого инструмента \( \mathscr{M} \) и любого состояния \( S \) существует семейство апостериорных состояний \( \left\{S_{x} ; x \in \mathscr{Z}\right\} \), т. е. операторов плотности \( S_{x} \), таких что: Оператор плотности \( S_{x} \) описывает состояние доли статистического ансамбля, в которой исход измерения равен \( x \), а величина \( \operatorname{Tr} S_{x} Y=\mathbf{E}_{s}(Y \mid x) \) есть aпостериорное среднее наблюдаемой \( Y \) при условии, что исход предыдущего измерения равен \( x \). Инструмент \( \mathscr{M} \) (или \( \mathscr{P} \) ) называется вполне положительным, если отображения \( \mathscr{P}(B) ; B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) \), вполне положительны. Пример 1. Пусть \( A=\sum_{t} x_{i} E_{i} \) — вещественная наблюдаемая с чисто точечным спектром. Соотношение определяет вполне положительный инструмент со значениями в \( \mathbf{R} \), соответствующий проекционному постулату фон Нейман, который описывает предельно точное измерение наблюдаемой \( A \). Распределение вероятностей в состоянии \( S \) есть а апостериорные состояния даются формулой Пример 2. Пусть \( A \) — вещественная наблюдаемая и \( p(x) \) — плотность распределения вероятностей на \( \mathbf{R} \), такая что Вполне положительный инструмент описывает неточное измерение наблюдаемой \( A \) со случайной ошибкой, распределенной с плотностью \( p(x) \). В самом деле где \( \mu_{s}{ }^{A} \) — распределение вероятностей наблюдаемой \( A \) в состоянии \( \mathcal{S} \). Апостериорные состояния суть Чем меньше \( \sigma^{2} \), т. е. чем ближе \( p(x) \) к \( \delta \)-функции, тем точнее измерение наблюдаемой \( A \). Для наблюдаемой \( A \) с чисто точечным спектром случай \( \sigma^{2}=0 \) соответствует примеру 1 ; для наблюдаемой с непрерывным спектром возникают принципиальные трудности, не позволяющие непосредственно обобщить проекционный постулат на этот случай (см. далее п. 1.3).
|
1 |
Оглавление
|