Рассмотрим последовательное измерение двух величин \( X, Y \), принимающих значения, соответстемой в состоянии \( S \). Совместная вероятность того, что исход первого измерения \( x \) попадает в множество \( A \), а исход второго \( y \) попадает в \( B \) (где \( A \subset \mathscr{X}, B \subset \mathscr{y} \) ) есть
\[
\mu_{s}(A ; B)=\mu_{s}(A) \mu_{s}(B \mid A),
\]

где \( \mu_{s}(A)=\mu_{s}(A ; \mathscr{y}) \) – вероятность того, что \( x \in A \), а \( \mu_{s}(B \mid A) \) соответствующая условная вероятность. Обозначим \( S_{A} \) состояние системы после первого измерения (оно зависит также от \( S \), но не зависит от \( B \) ). Тогда, согласно (2.1.4),
\[
\mu_{s}(B \mid A)=\operatorname{Tr} S_{A} M(B),
\]

где \( \mathbf{M} \) – разложение единицы, отвечающее величине \( Y \). Из (1.1), (1.2) видно, что функция множеств
\[
\mathscr{A}(A)[S]=\mu_{s}(A) S_{A}
\]

должна быть \( \sigma \)-аддитивна по \( A \). Это мотивирует следующее определение (Дэвис и Льюис, 1970).

Пусть \( \mathscr{X} \) – множество с \( \sigma \)-алгеброй измеримых подмножеств \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \). Инструментом (в пространстве состояний) со значениями в \( \mathscr{X} \) называется функция множеств \( \mathscr{M} \), заданная на \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \) и удовлетворяющая условиям:
1) \( \mathscr{M}(B) \) – операция для любого \( B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) \);
2) \( \mathscr{M}(\mathscr{X}) \) – динамическое отображение, т. е. \( \operatorname{Tr} \mathscr{M}(\mathscr{X})[T]= \) \( =\operatorname{Tr} T \) для всех \( T \in \mathfrak{T}(\mathscr{H}) \);
3) если \( \left\{B_{j}\right\} \subset \mathscr{B}(\mathscr{X}) \) – конечное или счетное разбиение множества \( B \in \mathscr{B}(\mathscr{Q}) \) на попарно непересекающиеся подмножества, то
\[
\mathscr{M}(B)[T]=\sum_{j} \mathscr{K}\left(B_{j}\right)[T] ; T \in \mathfrak{T}(\mathscr{C}),
\]

где ряд сходится по норме \( \mathfrak{x}(\mathscr{H}) \).
Постулируется, что если \( S \) – оператор плотности, описывающий состояние системы перед измерением, то вероятность собы-
85

—————————————————————-
0004ru_fizik_book6photo_page-0087.jpg.txt

тия, что исход измерения попадает в множество \( B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) \), равна
\[
\mu_{s}(B)=\operatorname{Tr} \mathscr{M}(B)[S],
\]

а состояние доли статистического ансамбля, в которой зарегистрировано это событие, дается оператором плотности
\[
S_{B}=\mathscr{K}(B)[S] / \operatorname{Tr} \mathscr{M}(B)[S]
\]
(при условии, что \( \mu_{s}(B)>0 \) ). В частности, изменение состояния всего статистического ансамбля задается динамическим отображением \( S \rightarrow \mathscr{M}(\mathscr{X})[S] \).

Переходя к сопряженным отображениям \( \mathfrak{P}(B)=\mathscr{M}(B)^{*} \), получаем формулировку в алгебре наблюдаемых: инструмент это функция множеств \( \mathscr{N} \) на \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \), такая что
1) \( \mathscr{P}(B) \) – положительное нормальное отображение \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) в себя для любого \( B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) \);
2) \( \mathcal{N}(\mathscr{X})[\mathrm{I}]=I \);
3) если \( \left\{B_{j}\right\} \subset \mathscr{B}(\mathscr{X}) \) – разбиение множества \( B \), то
\[
\mathscr{P}(B)[X]=\sum_{j} \mathscr{P}\left(B_{j}\right)[X] ; X \in \mathscr{F}(\mathscr{H}),
\]

где ряд сходится \( w^{*} \)-слабо.
Қаждому инструменту отвечает обобщенная наблюдаемая
\[
M(B)=\mathscr{P}(B)[\mathrm{I}] ; \quad B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}),
\]

такая, что
\[
\mu_{B}(B)=\operatorname{Tr} S M(B) .
\]

Озава [135] показал, что для любого инструмента \( \mathscr{M} \) и любого состояния \( S \) существует семейство апостериорных состояний \( \left\{S_{x} ; x \in \mathscr{Z}\right\} \), т. е. операторов плотности \( S_{x} \), таких что:
1) функция \( x \rightarrow \operatorname{Tr} S_{x} Y \mu_{s} \)-измерима для любого \( Y \in \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \);
2) \( \operatorname{Tr} \mathscr{M}(B)[S] Y=\int_{B}\left(\operatorname{Tr} S_{x} Y\right) \mu_{s}(d x) \).

Оператор плотности \( S_{x} \) описывает состояние доли статистического ансамбля, в которой исход измерения равен \( x \), а величина \( \operatorname{Tr} S_{x} Y=\mathbf{E}_{s}(Y \mid x) \) есть aпостериорное среднее наблюдаемой \( Y \) при условии, что исход предыдущего измерения равен \( x \).

Инструмент \( \mathscr{M} \) (или \( \mathscr{P} \) ) называется вполне положительным, если отображения \( \mathscr{P}(B) ; B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) \), вполне положительны.

Пример 1. Пусть \( A=\sum_{t} x_{i} E_{i} \) – вещественная наблюдаемая с чисто точечным спектром. Соотношение
\[
\mathscr{N}(B)[S]=\sum_{i: x_{i} \mathrm{E}^{B}} E_{i} S E_{i}
\]

определяет вполне положительный инструмент со значениями в \( \mathbf{R} \), соответствующий проекционному постулату фон Нейман, который описывает предельно точное измерение наблюдаемой \( A \).

Распределение вероятностей в состоянии \( S \) есть
\[
\mu_{s}(B)=\sum_{i: x_{i} \mathrm{E}^{B}} \operatorname{Tr} S E_{i},
\]

а апостериорные состояния даются формулой
\[
S_{i}=E_{i} S E_{i} / \operatorname{Tr} S E_{i} .
\]

Пример 2. Пусть \( A \) – вещественная наблюдаемая и \( p(x) \) – плотность распределения вероятностей на \( \mathbf{R} \), такая что
\[
\int_{-\infty}^{\infty} x p(x) d x=0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} p(x) d x=\sigma^{2}<\infty .
\]

Вполне положительный инструмент
\[
\mathscr{M}(B)[S]=\int_{B} \sqrt{p(x \mathrm{I}-A)} S \sqrt{p(x \mathrm{I}-A)} d x
\]

описывает неточное измерение наблюдаемой \( A \) со случайной ошибкой, распределенной с плотностью \( p(x) \). В самом деле
\[
\begin{array}{l}
\mu_{S}(B)=\int_{B} \operatorname{Tr} S p(x \mathrm{I}-A) d x= \\
=\int_{b} \int p(x-y) \mu_{S}^{A}(d y) d x,
\end{array}
\]

где \( \mu_{s}{ }^{A} \) – распределение вероятностей наблюдаемой \( A \) в состоянии \( \mathcal{S} \). Апостериорные состояния суть
\[
S_{x}=\frac{\sqrt{p(x I-A)} S \sqrt{p(x I-A)}}{\operatorname{Tr} S p(x I-A)} .
\]

Чем меньше \( \sigma^{2} \), т. е. чем ближе \( p(x) \) к \( \delta \)-функции, тем точнее измерение наблюдаемой \( A \). Для наблюдаемой \( A \) с чисто точечным спектром случай \( \sigma^{2}=0 \) соответствует примеру 1 ; для наблюдаемой с непрерывным спектром возникают принципиальные трудности, не позволяющие непосредственно обобщить проекционный постулат на этот случай (см. далее п. 1.3).