Пусть \( S \)-оператор плотности, \( \mathscr{A}_{1}, \ldots, \mathscr{M}_{n} \) – последовательность инструментов со значениями в измеримых пространствах \( \mathscr{X}_{1}, \ldots, \mathscr{\mathscr { X }}_{n} \). Из постулатов (1.3), (1.4) следует, что величина
\[
\begin{array}{l}
\mu_{S}^{\mathscr{M}_{1}}, \ldots, \mathscr{M}_{n}\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)= \\
=\operatorname{Tr} \mathscr{A}_{n}\left(B_{n}\right)\left[\ldots \mathscr{M}_{1}\left(B_{1}\right)[S] \ldots\right],
\end{array}
\]

где \( B_{j} \in \mathscr{B}\left(\mathscr{X}_{j}\right) \) есть вероятность того, что в последовательности измерений, задаваемых инструментами \( \mathscr{A}_{1}, \ldots, \mathscr{A}_{n} \), над системой, первоначально находившейся в состоянии \( S \), будут получены исходы \( x_{j} \in B_{j} ; j=1, \ldots, n \). Если \( \mathscr{X}_{1}, \ldots, \mathscr{X}_{n} \) – стандартные измеримые пространства, то функция множеств (1.12), заданная на параллелепипедах \( B_{1} \times \ldots \times B_{n} \), однозначно продолжается до вероятностной меры на \( \sigma \)-алгебре \( \mathscr{B}\left(\mathscr{X}_{1}\right) \times \ldots \) \( \ldots \times \mathscr{B}\left(\mathscr{X}_{n}\right) \) (см. \( [78, \S 4.2] \) ). Соотношение (1.15) можно записать также в виде
\[
\begin{array}{l}
\quad \mu_{S}^{\mathscr{M}_{1}}, \ldots, \mathscr{M}_{n}\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)= \\
=\operatorname{Tr} S \mathscr{N}_{1}\left(B_{1}\right)\left[\ldots \mathscr{P}_{n}\left(B_{n}\right)[\mathrm{I}] \ldots\right] .
\end{array}
\]

В случае инструментов, сооответствующих проекционному постулату (1.6), соотношение (1.15) переходит в формулу Вигнера (см. статью «Проблема измерения» в сборнике [11]).

Рассмотрим повторное измерение, описываемое инструментом \( \mathscr{M} \). Инструмент \( \mathscr{M} \) называется воспроизводимым, если
\[
\mathscr{M}\left(B_{1}\right)\left[\mathscr{M}\left(B_{2}\right)[S]\right]=\mathscr{M}\left(B_{1} \cap B_{2}\right)[\mathrm{S}] ; B_{1}, B_{2} \in \mathscr{B}(\mathscr{X})
\]

для любого оператора плотности \( S \). Это свойство является математическим выражением гипотезы воспроизводимости, гласящей, что «если физическая величина дважды измеряется на системе \( \mathscr{P} \), причем измерения следуют непосредственно одно за другим, то в обоих случаях получается одно и то же значение» (см. [26, гл. IV, п. 3]).

Рассмотрим инструмент со счетным множеством исходов \( \mathscr{Z}= \) \( =\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\} \) и положим \( \mathscr{M}_{i}=\mathscr{M}\left(\left\{x_{i}\right\}\right) \).

Предложение ([134], [78]). Всякий инструмент вида (1.6) обладает свойствами:
1) \( \mathscr{M}_{i}\left[\mathscr{M}_{j}[S]\right]=\delta_{i j} \mathscr{M}_{i}[S] \) (воспроизводимость);
2) если \( \operatorname{Tr} \mathscr{M}_{i}[S]=1 \), то \( \mathscr{M}_{i}[S]=S \) (минимальность возмущения);
3) если \( X \geqslant 0 \) и \( \mathscr{M}_{i}^{*}[X]=0 \) для \( i=1,2, \ldots \), то \( X=0 \) (невырожденность).

Обратно, всякий инструмент с этими свойствами имеет вид \( (1.6) \).

Таким образом, проекционный постулат (1.6) можно рассматривать как следствие ряда физически содержательных свойств соответствующего инструмента, включающих воспроизводимость. Как уже отмечалось, в случае непрерывного спектра возникают принципиальные трудности, которые в наиболее ясной форме выражаются следующей теоремой

T еорем а (Озава [134]). Пусть \( \mathscr{Z} \) – стандартное измеримое пространство. Всякий инструмент со значениями в \( \mathscr{X} \), обладающий свойством воспроизводимости (1.17), с необходимостью является дискретным, т. е. существует счетное подмножество \( \mathscr{X}_{0} \subset \mathscr{X} \), такое что \( \mathscr{M}\left(\mathscr{X} \backslash \mathscr{X}_{0}\right)[S]=0 \) для всех \( S \).

Доказательство. Рассмотрим точное состояние, задаваемое невырожденным оператором плотности \( S \). Согласно п. 1.1, существует семейство апостериорных состояний \( \left\{S_{x}\right\} \). Пусть \( \left\{B_{n}\right\} \) – счетная подалгебра, порождающая \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \). Обозначая \( M(B)=\mathscr{M}(B)^{*}[\mathrm{I}] \) и используя воспроизводимость, имеем
\[
\begin{array}{c}
\int_{B} \operatorname{Tr} S_{x} M\left(B_{n}\right) \mu_{S}(d x)=\operatorname{Tr} \mathscr{M}(B)[S] M\left(B_{n}\right)= \\
=\operatorname{Tr} \mathscr{M}\left(B \cap B_{n}\right)[S]=\int_{B} 1_{B_{n}}(x) \mu_{S}(d x),
\end{array}
\]

откуда \( \operatorname{Tr} S_{x} M\left(B_{n}\right)=1_{B_{n}}(x) \) для \( \mu_{S} \)-почти всех \( x \in \mathscr{X} \). Поэтому найдется подмножество \( \mathscr{\mathscr { O }}_{0} \subset \mathscr{X} \), такое что \( \mathscr{M}(\mathscr{X} \backslash \mathscr{X}) \) [S]=0 и
\[
\operatorname{Tr} S_{x} M(B)=1_{B}(x) ; x \in \mathscr{X}_{0}, B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) .
\]

Но тогда \( \operatorname{Tr} S_{x} M(\{x\})=1, x \in \mathscr{X}_{0} \), т. е. \( M(\{x\})
eq 0 \) и \( \mu_{\mathrm{S}}(\{x\})
eq 0 \), откуда следует, что \( \mathscr{X}_{0} \) счетно.

В примере 1 апостериорные состояния (1.7) таковы, что в этих состояниях (дискретная) наблюдаемая \( A \) с вероятностью 1 имеет определенное значение \( x_{j} \). Причина трудностей с непрерывным спектром связана с тем, что (алгебраическое) состояние, в котором непрерывная наблюдаемая \( A \) имеет определенное значение, не может быть нормальным (т. е. задаваться каким-либо оператором плотности).