Пусть $S$-оператор плотности, ${\mathcal{A}}_1,\dots ,{\mathcal{M}}_n$ — последовательность инструментов со значениями в измеримых пространствах ${\mathcal{X}}_1,\dots ,{\mathcal{X}}_n$. Из постулатов (1.3), (1.4) следует, что величина
$$\begin{array}{l}{\mu }_S^{{\mathcal{M}}_1},\dots ,{\mathcal{M}}_n(B_1\times \dots \times B_n)=\\ =\mathrm{Tr}{\mathcal{A}}_n\left(B_n\right)[\dots {\mathcal{M}}_1\left(B_1\right)[S]\dots ],\end{array}$$

где $B_j\in \mathcal{B}\left({\mathcal{X}}_j\right)$ есть вероятность того, что в последовательности измерений, задаваемых инструментами ${\mathcal{A}}_1,\dots ,{\mathcal{A}}_n$, над системой, первоначально находившейся в состоянии $S$, будут получены исходы $x_j\in B_j;j=1,\dots ,n$. Если ${\mathcal{X}}_1,\dots ,{\mathcal{X}}_n$ — стандартные измеримые пространства, то функция множеств (1.12), заданная на параллелепипедах $B_1\times \dots \times B_n$, однозначно продолжается до вероятностной меры на $\sigma$-алгебре $\mathcal{B}\left({\mathcal{X}}_1\right)\times \dots$ $\dots \times \mathcal{B}\left({\mathcal{X}}_n\right)$ (см. $[78,\mathrm{\S }4.2]$ ). Соотношение (1.15) можно записать также в виде
$$\begin{array}{l}{\mu }_S^{{\mathcal{M}}_1},\dots ,{\mathcal{M}}_n(B_1\times \dots \times B_n)=\\ =\mathrm{Tr}S{\mathcal{N}}_1\left(B_1\right)[\dots {\mathcal{P}}_n\left(B_n\right)[\mathrm{I}]\dots ].\end{array}$$

В случае инструментов, сооответствующих проекционному постулату (1.6), соотношение (1.15) переходит в формулу Вигнера (см. статью «Проблема измерения» в сборнике [11]).

Рассмотрим повторное измерение, описываемое инструментом $\mathcal{M}$. Инструмент $\mathcal{M}$ называется воспроизводимым, если
$$\mathcal{M}\left(B_1\right)[\mathcal{M}\left(B_2\right)[S]]=\mathcal{M}(B_1\cap B_2)[\mathrm{S}];B_1,B_2\in \mathcal{B}(\mathcal{X})$$

для любого оператора плотности $S$. Это свойство является математическим выражением гипотезы воспроизводимости, гласящей, что «если физическая величина дважды измеряется на системе $\mathcal{P}$, причем измерения следуют непосредственно одно за другим, то в обоих случаях получается одно и то же значение» (см. [26, гл. IV, п. 3]).

Рассмотрим инструмент со счетным множеством исходов $\mathcal{Z}=$ $=\{x_1,x_2,\dots \}$ и положим ${\mathcal{M}}_i=\mathcal{M}\left(\left\{x_i\right\}\right)$.

Предложение ([134], [78]). Всякий инструмент вида (1.6) обладает свойствами:
1) ${\mathcal{M}}_i[{\mathcal{M}}_j[S]]={\delta }_{ij}{\mathcal{M}}_i[S]$ (воспроизводимость);
2) если $\mathrm{Tr}{\mathcal{M}}_i[S]=1$, то ${\mathcal{M}}_i[S]=S$ (минимальность возмущения);
3) если $X⩾0$ и ${\mathcal{M}}_i^{\ast }[X]=0$ для $i=1,2,\dots$, то $X=0$ (невырожденность).

Обратно, всякий инструмент с этими свойствами имеет вид $(1.6)$.

Таким образом, проекционный постулат (1.6) можно рассматривать как следствие ряда физически содержательных свойств соответствующего инструмента, включающих воспроизводимость. Как уже отмечалось, в случае непрерывного спектра возникают принципиальные трудности, которые в наиболее ясной форме выражаются следующей теоремой

T еорем а (Озава [134]). Пусть $\mathcal{Z}$ — стандартное измеримое пространство. Всякий инструмент со значениями в $\mathcal{X}$, обладающий свойством воспроизводимости (1.17), с необходимостью является дискретным, т. е. существует счетное подмножество ${\mathcal{X}}_0\subset \mathcal{X}$, такое что $\mathcal{M}\left(\mathcal{X}\mathrm{\setminus }{\mathcal{X}}_0\right)[S]=0$ для всех $S$.

Доказательство. Рассмотрим точное состояние, задаваемое невырожденным оператором плотности $S$. Согласно п. 1.1, существует семейство апостериорных состояний $\left\{S_x\right\}$. Пусть $\left\{B_n\right\}$ — счетная подалгебра, порождающая $\mathcal{B}(\mathcal{X})$. Обозначая $M(B)=\mathcal{M}(B{)}^{\ast }[\mathrm{I}]$ и используя воспроизводимость, имеем
$$\begin{array}{c}{\int }_B\mathrm{Tr}{S}_{x}M\left(B_n\right){\mu }_S(dx)=\mathrm{Tr}\mathcal{M}(B)[S]M\left(B_n\right)=\\ =\mathrm{Tr}\mathcal{M}(B\cap B_n)[S]={\int }_B{1}_{B_n}(x){\mu }_S(dx),\end{array}$$

откуда $\mathrm{Tr}{S}_{x}M\left(B_n\right)=1_{B_n}(x)$ для ${\mu }_S$-почти всех $x\in \mathcal{X}$. Поэтому найдется подмножество ${\mathcal{O}}_0\subset \mathcal{X}$, такое что $\mathcal{M}(\mathcal{X}\mathrm{\setminus }\mathcal{X})$ [S]=0 и
$$\mathrm{Tr}{S}_{x}M(B)=1_B(x);x\in {\mathcal{X}}_0,B\in \mathcal{B}(\mathcal{X}).$$

Но тогда $\mathrm{Tr}{S}_{x}M(\{x\})=1,x\in {\mathcal{X}}_0$, т. е. $M(\{x\})eq0$ и ${\mu }_{\mathrm{S}}(\{x\})eq0$, откуда следует, что ${\mathcal{X}}_0$ счетно.

В примере 1 апостериорные состояния (1.7) таковы, что в этих состояниях (дискретная) наблюдаемая $A$ с вероятностью 1 имеет определенное значение $x_j$. Причина трудностей с непрерывным спектром связана с тем, что (алгебраическое) состояние, в котором непрерывная наблюдаемая $A$ имеет определенное значение, не может быть нормальным (т. е. задаваться каким-либо оператором плотности).