Рассмотрим изолированную квантовую систему, эволюция которой описывается группой унитарных операторов \( \left\{U_{t} ; t \in \mathbf{R}\right\} \) в гильбертовом пространстве \( \mathscr{H} \). Пусть \( \left\{A_{j t} ; j=1, \ldots, m ; t \in T\right\} \), где \( T \subset \mathbf{R} \) – семейство вещественных наблюдаемых. Обозначим
\[
A_{j}(t)=U_{t}^{*} A_{j t} U_{i} ; \quad t \in T,
\]

и предположим, что для любых моментов времени \( t_{1}<\ldots<t_{n} \) и любых \( j_{1}, \ldots, j_{n} \) наблюдаемые \( A_{j_{1}}\left(t_{1}\right), \ldots, A_{j_{n}}\left(t_{n}\right) \) совме стимы. Согласно формуле (1.20), последовательное точное измерение наблюдаемых \( A_{j_{1}}\left(t_{1}\right), \ldots, A_{j_{n}}\left(t_{n}\right)\left(j_{k}=1, \ldots, m\right) \) имеет распределение вероятностей
\[
\mu_{s}\left(B_{1} \times \ldots \times B_{n}\right)=\operatorname{Tr} S E_{\left(t_{1}\right)}\left(B_{1}\right) \ldots E_{\left(t_{n}\right)}\left(B_{n}\right),
\]

где \( B_{k} \in \mathscr{R}\left(\mathbf{R}^{m}\right) \) и \( E_{\left(t_{k}\right)} \) – совместная спектральная мера наблюдаемых \( A_{j}\left(t_{k}\right) ; j=1, \ldots, m \).

Семейство вероятностных мер (2.2) при всевозможных \( n= \) \( =1,2, \ldots ; t_{1}, \ldots, t_{n} \) является согласованным. Используя теорему А. Н. Колмогорова о продолжении, можно доказать, что существует единственное ортогональное разложение единицы \( \mathbf{E} \) на \( \mathscr{B}\left(\mathbf{R}^{T}\right) \), где \( \mathscr{B}\left(\mathbf{R}^{T}\right)-\sigma \)-алгебра цилиндрических множеств на пространстве траекторий \( \mathbf{R}^{T} \) такое, что
\[
E\left(x(\cdot): x\left(t_{1}\right) \in B_{1}, \ldots, x\left(t_{n}\right) \in B_{n}\right)=E_{\left(t_{1}\right)}\left(B_{1}\right) \ldots E_{\left(t_{n}\right)}\left(B_{n}\right) .
\]

Оно описывает статистику непрерывного (во времени) точного измерения семейства совместимых наблюдаемых (2.1), в том смысле, что вероятность подмножества \( B \) в пространстве траекторий есть
\[
\mu_{S}(x(\cdot) \in B)=\operatorname{Tr} S E(B) .
\]

В физике подобные измерения получили название неразрушающих и привлекли внимание, в связи с задачей обнаружения слабой силы (гравитационной волны), действующей на пробную систему [69], [140].

Прим ер. Квантовомеханический осциллятор массы \( m \) и с частотой \( \omega \), возбуждаемый скалярной силой \( \varphi(t) \), описывается уравнениями
\[
\dot{Q}(t)=m^{-1} P(t), \quad \dot{P}(t)=-m \omega^{2} Q(t)+\varphi(t) \mathrm{I},
\]

где \( Q(0)=Q, \quad P(0)=P \)-канонические наблюдаемые, т. е. \( [P, Q]=i \mathrm{I} \). Положим \( A_{1 t}=Q \cos \omega t-(P / m \omega) \sin \omega t \), так что
\[
A_{1}(t)=Q(t) \cos \omega t-(P(t) / m \omega) \sin \omega t .
\]

Из уравнений (2.3)
\[
\dot{A}_{1}(t)=-(\varphi(t) / m \omega) \sin \omega t,
\]

поэтому наблюдаемые \( A_{1}(t) \) совместимы при разных \( t \) и возможно непрерывное неразрушающее измерение семейства \( \left\{A_{1}(t)\right\} \). Сила \( \varphi(t) \) может быть определена по любой траектории из соотношения (2.4).

Аналогично, для \( A_{2 t}=P \cos \omega t+m_{\omega} Q \sin \omega t \) получаем семейство совместимых наблюдаемых
\[
A_{2}(t)=P(t) \cos \omega t+m \omega Q(t) \sin \omega t,
\]

для которого \( \dot{A}_{2}(t)=\varphi(t) \cos \omega t \) I. Заметим, что \( A_{1}(t) \) и \( A_{2}(t) \) несовместимы, поскольку \( \left[A_{2}(t), A_{1}(t)\right]=i \mathrm{I} \). Действуя в духе п. 2.1.3, рассмотрим семейство совместимых наблюдаемых
\[
\tilde{A}_{1}(t)=A_{1}(t) \otimes \mathrm{I}_{0}-\mathrm{I} \otimes Q_{0} ; \quad \tilde{A}_{2}(t)=A_{2}(t) \otimes \mathrm{I}_{0}+\mathrm{I} \otimes P_{0}
\]

в пространстве \( \mathscr{H} \otimes \mathscr{H}_{0} \) (см. [103]). Сила \( \varphi(t) \) определяется тогда из соотношения
\[
\varphi(t)=\cos \omega t \dot{\tilde{A}}_{2}(t)-m \omega \sin \omega t \dot{\tilde{A}}_{1}(t) .
\]