Пусть \( (\Omega, \mathscr{B}(\Omega)) \) измеримое пространство, \( \mathfrak{R}(\Omega) \) – выпуклое множество всех вероятностных мер на \( \Omega \), а \( \sqsubseteq(\Omega) \) совокупность всех вецественных случайных величин с естественным отношением функциональной подчиненности. Пусть
\[
\mu_{P}{ }^{X}(B)=P\left(X^{-1}(B)\right): B \in \mathscr{B}(\mathbf{R})
\]
– распределение вероятностей \( X € \Omega(\Omega) \) относительно \( P \in \Re(\Omega) \). Пара ( \( (\Omega), \curvearrowleft(\Omega) \) ) образует отделимую статистическую модель, которую можно назвать колмогоровской. В этой модели все наблюдаемые совместимы и центр совпадает с \( \cong(\Omega) \). Для простоты продемонстрируем совместимость наблюдаемых с конечным множеством значений. Всякая такая наблюдаемая имеет представление, аналогичное (0.2)
\[
\because(\omega)=\sum_{j=1}^{n} x_{j} E_{j}(\omega),
\]

где \( E_{j}(\omega) \) есть индикатор множества \( B_{j}=\left\{\omega: X(\omega)=x_{j}\right\} \). Множества \( B_{j} \) образуют разбиение пространства \( \Omega \), а \( \left\{E_{j}(\omega)\right\} \) являются аналогом ортогонального разложения единицы (0.3). Если \( X_{1}, \ldots, X_{m} \) – произвольный набор таких наблюдаемых, то достаточно взять разбиение \( \left\{B_{j}\right\} \) более мелкое, чем все разбиения, соответствующие наблюдаемым \( X_{i} \), чтобы было возможно представить все \( X_{i} \) как функции наблюдаемой \( X \), соответствующей такому разбиению \( \left\{B_{j}\right\} \).

Статистическая модель \( N \)-уровневой квантовой системы фактически была описана в п. 1. Если наблюдаемая \( X \) имеет спектральное разложение (0.2), то наблюдаемая \( f \circ X \) определяется как
\[
f \circ X=\sum_{j=1}^{n} f\left(x_{j}\right) E_{j} .
\]

Қвантовые наблюдаемые \( X_{1}, \ldots, X_{m} \) совместимы тогда и только тогда, когда соответствующие матрицы перестановочны, т. e.
\[
X_{i} X_{j}=X_{j} X_{i} ; i, j=1, \ldots, m .
\]

Центр такой модели тривиален: он состоит из матриц, кратных единичной, т. е. только из постоянных наблюдаемых.

Для совместимых наблюдаемых естественно вводится совместное распределение вероятностей относительно любого состояния \( S \). Если же \( X_{1}, \ldots, X_{m} \) несовместимы, то совместное распределение относительно произвольного состояния не существует. Это обстоятельство отражает квантовый принцип дополнительности. Физические измерения над микрообъектами осуществляются макроскопическими экспериментальными установками, каждая из которых предполагает ‘ложную и специфичную организацию пространственно-временной среды. Разные способы такой организации, отвечающие разным наблюдаемым, могут быть взаимно исключающими (хотя и относятся к одному и тому же микрообъекту), т. е. дополнительными. Наличие обширного запаса несовместимых наблюдаемых – первое из основных отличий квантовой статистики от классической.

Один из наиболее спорных вопросов квантовой теории проблема скрытых параметров, т. е. вопрос о принципиальной возможности описания квантовой статистики в терминах классического вероятностного пространства. Первая попытка доказательства невозможности введения скрытых параметров была предпринята Дж. фон Нейманом в [26] и долгое время его аргументы рассматривались как решающие. В 1966 г. Дж. Белл обратил внимание на их неполноту и указал на другое фундаментальное свойство квантовомеханического описания, которое можно обозначить как свойство целостности\”. Математически оно связано с принципом суперпозиции и с тем обстоятельством, что составные квантовые системы описываются с помощью тензорного, а не декартова произведения, как в классической теории вероятностей. Свойства дополнительности и целостности лежат в основе негативных результатов в проблеме скрытых параметров, которые обсуждаются в конце гл. 1.