Если \( \{X(t) ; t \in \mathbf{R}\} \) – коммутирующее семейство самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве \( \mathfrak{5} \), то оно диагонализуемо: существует пространство с мерой \( (\Omega, \mathscr{B}(\Omega), \mu) \) и унитарный оператор \( J \) из \( \mathfrak{5} \) на \( L^{2}(\Omega, \mu) \), такие что
\[
\left(J X(t) J^{-1} \varphi\right)(\omega)=X_{t}(\omega) \varphi(\omega)
\]

для \( \varphi \in L^{2}(\Omega, \mu) \), где \( X_{t}(\omega) \) – вещественные измеримые функфункции \( f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \)
\[
\left\langle\psi \mid f\left(X\left(t_{1}\right), \ldots, X\left(t_{n}\right)\right) \psi\right\rangle=\int f\left(X_{t_{1}}(\omega), \ldots, \dot{X}_{t_{n}}(\omega)\right) P(d \omega)
\]

где \( P(d \omega)=|(J \psi)(\omega)|^{2} \mu(d \omega) \) – вероятностная мера на \( \Omega \). В этом смысле семейство \( \{X(t)\} \) в гильбертовом пространстве \( \mathfrak{g} \) с выделенным вектором \( \Psi \) стохастически эквивалентно случайному процессу \( \left\{X_{t}(\omega)\right\} \) в вероятностном пространстве \( (\Omega \), \( \mathscr{B}(\Omega), P) \).

Рассмотрим коммутирующее (в силу (1.5)) семейство самосопряженных операторов \( \{Q(t)\} \) в \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \). Пусть \( \left\{W_{t}\right. \); \( \left.t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)- стандартный винеровский процесс, \( L^{2}(W) \) – гильбертово пространство комплексных квадратично интегрируемых функционалов от винеровского процесса. Отображение дуальности (Сигал)
\[
J \psi=f_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} \int \underset{\mathfrak{P}_{n}}{ } \int f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) d W_{t_{1}} \ldots d W_{t_{n}},
\]

где в правой части формулы – кратные стохастические интегралы в смысле Ито, является изоморфизмом пространства Фока \( \mathfrak{b}=\Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \)и \( L^{2}(W) \), причем
\[
J \psi_{0}=1 ; \quad J Q(t) J^{-1}=W_{t} .
\]

Поэтому семейство \( \{Q(t)\} \) в \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \)с вакуумным вектором \( \psi_{0} \) стохастически эквивалентно винеровскому процессу \( W_{t} \). Аналогичное утверждение справедливо и для коммутирующего семейства \( \{P(t)\} \). Заметим, что в силу (1.5) операторы \( Q(t) \) и \( P(s) \) не коммутируют между собой и поэтому семейство \( \{Q(t) \), \( P(t)\} \) не эквивалентно двумерному винеровскому процессу. Унитарный оператор \( U \psi(\tau)=i^{|\tau|} \psi(\tau) \) переводит \( \psi_{0} \) в \( \psi_{0} \) и

\[
P(t)=U Q(t) U^{-1} \text {. }
\]

Оператору \( U \) в \( L^{2}(W) \) отвечает преобразование Фурье-Винеpa \( { }^{1)} \).

Рассмотрим теперь коммутирующее семейство самосопряженных операторов \( \{\Lambda(t)\} \). Пусть \( \left\{N_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)- пуассоновский процесс интенсивности \( \lambda \) на вероятностном пространстве \( (\Omega \),
\[
J^{(\lambda)} \psi=f_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{\mathfrak{F}_{n}} \ldots \int f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) d X_{t_{1}} \ldots d X_{t_{n}},
\]

где \( X_{t}=\lambda^{-1 / 2}\left(N_{t}-\lambda t\right) \) – компенсированный пуассоновский процесс, является изоморфизмом пространства Фока \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \)и \( L^{2}(N) \), причем
\[
J^{(\lambda)} \psi_{0}=1, \quad J^{(\lambda)} \Pi^{(\lambda)}(t) J^{(\lambda)-1}=N_{t},
\]

где
\[
\Pi^{(\lambda)}(t)=\Lambda(t)+\sqrt{\lambda} Q(t)+\lambda t .
\]

Таким образом, семейство \( \left\{\Pi^{(\lambda)}(t)\right\} \) в \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \)с вакуумным вектором \( \psi_{0} \) стохастически эквивалентно пуассоновскому процессу [108].

С точки зрения классической теории вероятностей соотношение (2.1) не может не вызвать удивления – пуассоновский процесс представлен как сумма винеровского процесса с постоянным сносом и процесса \( \Lambda(t) \), равного нулю почти наверное (относительно вакуумного состояния). Дело, конечно, в том, что слагаемые не коммутируют и поэтому не могут рассматриваться как классические случайные процессы на одном вероятностном пространстве. Заметим, что подобная связь между пуассоновским и нормальным распределением хорошо известна в квантовой оптике [21].

В подходящее пространство Фока \( \Gamma\left(L_{\mathscr{H}}^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), где \( L_{\mathscr{K}}^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right) \)пространство квадратично-интегрируемых функций со значениями в некотором гильбертовом пространстве \( \mathscr{K} \), может быть вложен произвольный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями (Партасарати, см. [128]). Представление такого процесса требует, вообще говоря, бесконечного числа независимых процессов рождения-уничтожения-числа частиц.
Среди процессов с независимыми приращениями только ви-
1) См. Т. Хида. Броуновское движение.- М.: Наука, 1987.
\( 8^{*} \)

неровский и пуассоновский обладают следующим свойством хаотической представимости: гильбертово пространство квадратично интегрируемых функционалов от процесса является прямой суммой подпространств, порождаемых \( n \)-кратными стохастическими интегралами (Винер, Ито). Вопрос-какие другие мартингалы обладают этим свойством – привлек внимание специалистов по теории случайных процессов. В частности, Эмери показал, что этим свойством обладает мартингал Аземы
\[
X_{t}=\operatorname{sgn} W_{t} \sqrt{2\left(t-g_{t}\right)},
\]

где \( g_{t} \) – последний нуль винеровского процесса \( W_{t} \) перед моментом \( t \). Партасарати [137] рассмотрел квантовое стохастическое дифференциальное уравнение
\[
d X(t)=(c-1) X(t) d \Lambda(t)+d Q(t), \quad X(0)=0,
\]

и показал, что при любом \( c \in[-1,1] \) оно имеет решение, являющееся коммутирующим семейством самосопряженных операторов и стохастически эквивалентное (относительно вакуумного вектора) мартингалу со свойством хаотической представимости. Как заметил Мейер, при \( c=0 \) решение \( X(t) \) стохастически эквивалентно мартингалу Аземы. Таким образом, в высшей степени нелинейное преобразование (2.2) винеровского процесса оказывается тесно связанным с линейным стохастическим дифференциальным уравнением для некоммутирующих процессов.