Қинематика нерелятивистских систем как классических, так и квантовых, основана на прин. ципе относительности Галилея, согласно которому описание изолированной системы одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Пусть \( W_{x, \text { v }} \) – унитарный оператор, порождающий преобразование состояний при переходе в систему отсчета, сдвинутую на расстояние \( x \) и движущуюся относительно исходной со скоростью \( v \) вдоль выделенной координатной оси. Тогда \( (x, v) \rightarrow W_{x}, v \) есть проективное представление группы \( G=\mathbf{R}^{2} \) в гильбертовом пространстве \( \mathscr{H} \). Можно доказать, что соотношение (2.3) приводится к виду
\[
W_{x_{1}, v_{1}} W_{x_{2}, v_{2}}=\exp \left[-\frac{i m}{2}\left(x_{1} v_{2}-x_{2} v_{1}\right)\right] W_{x_{1}+x_{2}, v_{1}+v_{2}},
\]

где \( m \) – вещественный параметр (связанный с массой частицы) и далее строго положительный. Выделяя однопараметрические подгруппы – группу пространственных сдвигов \( V_{x}=W_{x, 0} \) и группу «галилеевых бустов» \( U_{v}=W_{0, v} \), соотношение (2.8) можно переписать в виде
\[
U_{v} V_{x}=e^{i m x v} V_{x} U_{v} ; \quad x, v \in \mathbf{R},
\]

причем \( W_{x, v}=e^{i m x v / 2} V_{x} U_{v} \). Соотношение (2.9) называется каноническим коммутационным соотношением (ККС) Г. Вейля [10].
Согласно теореме Стоуна,
\[
U_{v}=e^{i m v Q}, \quad V_{x}=e^{-i x P},
\]

где \( Q, P \) – самосопряженные операторы в \( \mathscr{C} \). Рассматривая \( Q \) как вещественную наблюдаемую, заметим, что соотношение

(2.9) равносильно уравнению
\[
V_{x}{ }^{*} E(B+x) V_{x}=E(B) ; B \in \mathscr{B}(\mathbf{R})
\]

для спектральной меры E оператора \( Q \). Это же равносильно тому, что распределение вероятностей наблюдаемой преобразуется ковариантно при пространственных сдвигах (2.7):
\[
\mu_{s_{x}}^{Q}(B+x)=\mu_{s_{0}}^{Q}(B) ; \quad B \in \mathscr{B}(\mathbf{R}),
\]

для любого состояния \( S_{0} \). Это дает основание назвать \( Q \) наблюдаемой координаты вдоль выделенной оси. Симметричное рассуждение показывает, что \( P / m \) есть наблюдаемая скорости изолированной квантовой системы.

Представлением ККС считается любая конкретная пара \( (V, U) \), удовлетворяющая соотношениям (2.9). Представление называется неприводимым, если в \( \mathscr{H} \) нет замкнутого подпространства, инвариантного относительно \( V_{x}, U_{v} \). Неприводимым является представление Шрёдингера в \( \mathscr{H}=L^{2}(\mathbf{R}) \)
\[
V_{x} \psi(\xi)=\psi(\xi-x), U_{v} \psi(\xi)=e^{i m v \xi} \psi(\xi) .
\]

В этом представлении \( Q \) задается оператором умножения на \( \xi \), а \( P \) – оператором \( i^{-1} \frac{d}{d \zeta} \).

Операторы \( P, Q \) имеют общую плотную инвариантную область определения и удовлетворяют на ней \( К К С \) Гейзенберга \( { }^{11} \) :
\[
[P, Q]=i \mathrm{I} \text {. }
\]

Операторы \( P, Q \) называются каноническими наблюдаемыми. Обратный переход от соотношения Гейзенберга к соотношению Вейля (экспоненциирование) имеет ряд аналитических тонкостей, связанных с неограниченностью операторов \( P, Q \) и породил обширную математическую литературу (см. Иоргенсен, Мур [112]).

Принципиальное значение для квантовой механики имеет тот факт, что ККС определяют канонические наблюдаемые \( P, Q \) практически однозначно.

Теорем (Стоун-фон Нейман, 1931). Всякое сильно непрерывное представление \( К \mathrm{KC} \) является прямой суммой неприводимых представлений, каждое из которых унитарно эквивалентно представлению Шрёдингера.

В частности, в любом представлении \( \mathrm{KC} \) операторы \( P, Q \), как и в представлении Шрёдингера, не ограничены и имеют лебегов спектр, простирающийся на всю вещественную прямую. С этим связана известная трудность с установлением разумного принципа соответствия в квантовой механике. Вопрос состоит в определении канонически сопряженных квантовых наблюдаемых, аналогичным обобщенным координатам и импульсам в
1) Соотношение (2.111) впервые было рассмотрено в \( 50-\mathrm{x} \) годах прошлого века ирландским математиком Грейвсом, который развил соответствующее символическое исчисление.

гамильтоновом формализме квантовой механики, и связан с проблемой квантования классических систем. Так, в классической механике время и энергия, подобно координате и импульсу, являются канонически сопряженными величинами. Однако наблюдаемая энергии \( H \) имеет ограниченный снизу спектр, поэтому из теоремы Стоуна-фон Неймана вытекает, что не существует самосопряженного оператора времени \( T \), которым был бы связан с \( H \) каноническим коммутационным соотношением. Эти трудности, возникающие и для других канонических пар, разрешаются в рамках обобщенной статистической модели квантовой механики (см. гл. \( 2, \S 3 \) ).

Аналогично формулируются ККС для систем с произвольным числом степеней свободы. Пусть \( \{Z, \Delta\} \) – симплектическое пространство, т. е. вещественное линейное пространство с билинейной кососимметричной формой \( \Delta\left(z, z^{\prime}\right) ; z, z^{\prime} \in Z \). Представлением ҚКС называется семейство \( z \rightarrow W(z) \) унитарных операторов в гильбертовом пространстве \( \mathscr{H} \), удовлетворяющее \( К К С \) ВейляСигала
\[
W(z) W\left(z^{\prime}\right)=\exp \frac{i}{2} \Delta\left(z, z^{\prime}\right) W\left(z+z^{\prime}\right) .
\]

Если форма \( \Delta \) невырождена, а \( Z \) конечномерно, то оно имеет четную размерность \( d \), и существует базис, в котором
\[
\Delta\left(z, z^{\prime}\right)=\sum_{j=1}^{d}\left(x_{j} y_{j}^{\prime}-x_{j}^{\prime} y_{j}\right) .
\]

При этом операторы сильно непрерывного представления Вейля записываются в виде
\[
W(z)=\exp i \sum_{j=1}^{d}\left(x_{j} P_{j}+y_{j} Q_{j}\right),
\]

где самосопряженные операторы \( P_{j}, Q_{j} \) удовлетворяют многомерному аналогу ККС Гейзенберга (2.11)
\[
\left[P_{j}, Q_{k}\right]=i \delta_{j k} \mathrm{I} ;\left[P_{j}, P_{k}\right]=0,\left[Q_{j}, Q_{k}\right]=0 .
\]

В этом случае теорема единственности Стоуна-фон Неймана сохраняет силу.

Для систем с бесконечным числом степеней свободы единственность нарушается и существует континуальное множество неэквивалентных представлений, что является причиной «инфракрасных расходимостей» в квантовой теории поля (см. [7], [32], [51]).

Неединственность представлений ККС тесно связана с неэквивалентностью вероятностных мер в бесконечномерных пространствах и послужила одним из первоначальных стимулов для изучения этого вопроса, занимающего большое место в классической теории случайных процессов.