Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Қинематика нерелятивистских систем как классических, так и квантовых, основана на прин. ципе относительности Галилея, согласно которому описание изолированной системы одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Пусть \( W_{x, \text { v }} \) — унитарный оператор, порождающий преобразование состояний при переходе в систему отсчета, сдвинутую на расстояние \( x \) и движущуюся относительно исходной со скоростью \( v \) вдоль выделенной координатной оси. Тогда \( (x, v) \rightarrow W_{x}, v \) есть проективное представление группы \( G=\mathbf{R}^{2} \) в гильбертовом пространстве \( \mathscr{H} \). Можно доказать, что соотношение (2.3) приводится к виду где \( m \) — вещественный параметр (связанный с массой частицы) и далее строго положительный. Выделяя однопараметрические подгруппы — группу пространственных сдвигов \( V_{x}=W_{x, 0} \) и группу «галилеевых бустов» \( U_{v}=W_{0, v} \), соотношение (2.8) можно переписать в виде причем \( W_{x, v}=e^{i m x v / 2} V_{x} U_{v} \). Соотношение (2.9) называется каноническим коммутационным соотношением (ККС) Г. Вейля [10]. где \( Q, P \) — самосопряженные операторы в \( \mathscr{C} \). Рассматривая \( Q \) как вещественную наблюдаемую, заметим, что соотношение (2.9) равносильно уравнению для спектральной меры E оператора \( Q \). Это же равносильно тому, что распределение вероятностей наблюдаемой преобразуется ковариантно при пространственных сдвигах (2.7): для любого состояния \( S_{0} \). Это дает основание назвать \( Q \) наблюдаемой координаты вдоль выделенной оси. Симметричное рассуждение показывает, что \( P / m \) есть наблюдаемая скорости изолированной квантовой системы. Представлением ККС считается любая конкретная пара \( (V, U) \), удовлетворяющая соотношениям (2.9). Представление называется неприводимым, если в \( \mathscr{H} \) нет замкнутого подпространства, инвариантного относительно \( V_{x}, U_{v} \). Неприводимым является представление Шрёдингера в \( \mathscr{H}=L^{2}(\mathbf{R}) \) В этом представлении \( Q \) задается оператором умножения на \( \xi \), а \( P \) — оператором \( i^{-1} \frac{d}{d \zeta} \). Операторы \( P, Q \) имеют общую плотную инвариантную область определения и удовлетворяют на ней \( К К С \) Гейзенберга \( { }^{11} \) : Операторы \( P, Q \) называются каноническими наблюдаемыми. Обратный переход от соотношения Гейзенберга к соотношению Вейля (экспоненциирование) имеет ряд аналитических тонкостей, связанных с неограниченностью операторов \( P, Q \) и породил обширную математическую литературу (см. Иоргенсен, Мур [112]). Принципиальное значение для квантовой механики имеет тот факт, что ККС определяют канонические наблюдаемые \( P, Q \) практически однозначно. Теорем (Стоун-фон Нейман, 1931). Всякое сильно непрерывное представление \( К \mathrm{KC} \) является прямой суммой неприводимых представлений, каждое из которых унитарно эквивалентно представлению Шрёдингера. В частности, в любом представлении \( \mathrm{KC} \) операторы \( P, Q \), как и в представлении Шрёдингера, не ограничены и имеют лебегов спектр, простирающийся на всю вещественную прямую. С этим связана известная трудность с установлением разумного принципа соответствия в квантовой механике. Вопрос состоит в определении канонически сопряженных квантовых наблюдаемых, аналогичным обобщенным координатам и импульсам в гамильтоновом формализме квантовой механики, и связан с проблемой квантования классических систем. Так, в классической механике время и энергия, подобно координате и импульсу, являются канонически сопряженными величинами. Однако наблюдаемая энергии \( H \) имеет ограниченный снизу спектр, поэтому из теоремы Стоуна-фон Неймана вытекает, что не существует самосопряженного оператора времени \( T \), которым был бы связан с \( H \) каноническим коммутационным соотношением. Эти трудности, возникающие и для других канонических пар, разрешаются в рамках обобщенной статистической модели квантовой механики (см. гл. \( 2, \S 3 \) ). Аналогично формулируются ККС для систем с произвольным числом степеней свободы. Пусть \( \{Z, \Delta\} \) — симплектическое пространство, т. е. вещественное линейное пространство с билинейной кососимметричной формой \( \Delta\left(z, z^{\prime}\right) ; z, z^{\prime} \in Z \). Представлением ҚКС называется семейство \( z \rightarrow W(z) \) унитарных операторов в гильбертовом пространстве \( \mathscr{H} \), удовлетворяющее \( К К С \) ВейляСигала Если форма \( \Delta \) невырождена, а \( Z \) конечномерно, то оно имеет четную размерность \( d \), и существует базис, в котором При этом операторы сильно непрерывного представления Вейля записываются в виде где самосопряженные операторы \( P_{j}, Q_{j} \) удовлетворяют многомерному аналогу ККС Гейзенберга (2.11) В этом случае теорема единственности Стоуна-фон Неймана сохраняет силу. Для систем с бесконечным числом степеней свободы единственность нарушается и существует континуальное множество неэквивалентных представлений, что является причиной «инфракрасных расходимостей» в квантовой теории поля (см. [7], [32], [51]). Неединственность представлений ККС тесно связана с неэквивалентностью вероятностных мер в бесконечномерных пространствах и послужила одним из первоначальных стимулов для изучения этого вопроса, занимающего большое место в классической теории случайных процессов.
|
1 |
Оглавление
|