Используя прием, который позволил получить в п. 2.2 стохастические представления квантовой динамической полугруппы, найдем соответствующие стохастические представления для процессов непрерывного измерения [105]. Из этих представлений вытекает явное описание распределений вероятностей в пространстве траекторий – исходов непрерывного измерения и апостериорных состояний наблюдаемой квантовой системы.

Рассмотрим сначала и.-процесс с генератором (2.15). Как отмечалось в п. 4.2.5, он сосредоточен на непрерывных траекториях. Пусть \( \mu_{(1)} \) – мера Винера в пространстве непрерывных функций \( \mathscr{C} \), отвечающая стандартному винеровскому процесcy \( W_{t} \).

Предложение 1. И.-процесс \( \left\{\boldsymbol{\kappa}_{a, b}^{(1)}\right\} \) абсолютно непрерывен по мере \( \mu_{(1)} \) в том смысле, что
\[
\boldsymbol{\mathcal { x }}_{0, t}^{(1)}(E)[S]=\int_{E} V_{(t)}^{1 \cdot-}(W) S V_{t}^{(1)}(W)^{*} d \mu_{(1)}(W) ; E \in \mathscr{B}_{0, t} \cap \mathscr{C},
\]

где \( \left\{V_{t}^{(1)}(W)\right\} \) – семейство ограниченных операторов в \( \mathscr{\mathscr { * }} \), удовлетворя ющее стохастическому дифференциальному уравнению (2.7) относитељно меры \( \mu_{(1)} \).

Доказательство основано на применении преобразования дуальности к представлению (2.17). При этом, как в п. 2.2, появляются операторы \( V_{t}^{(1)}(W) \), а спектральная мера \( P_{0, t}^{(1)} \) семейства \( Q(s) ; 0 \leqslant s \leqslant t \), диагонализуется, так что проектор \( P_{0, t}^{(1)}(E) \) переходит в индикатор множества \( E \in \mathscr{B}_{0, t} \cap \mathscr{C} \).

Соотношение (2.17) дает конкретное представление вполне положительного инструмента \( \boldsymbol{\mu}_{0, t}^{(1)} \) в виде (4.1.12). Отсюда получается распределение вероятностей в пространстве наблюдаемых траекторий
\[
\mu_{S}(E)=\int_{E} \operatorname{Tr} S V_{t}^{(1)}(W)^{*} V_{t}^{(1)}(W) d_{\mu_{(1)}}(W) ; \quad E \in \mathscr{B}_{0, t} \cap \mathscr{C} .
\]

Оно абсолютно непрерывно по мере Винера \( \mu_{(1)} \), причем плотность дается формулой
\[
p_{t}^{(1)}(W)=\operatorname{Tr} S V_{t}^{(1)}(W) V_{t}^{(1)}(W)^{*},
\]

и почти наверное положительна. Апостериорное состояние, отвечающее наблюдаемой траектории \( W_{s} ; 0 \leqslant s \leqslant t \), есть
\[
S_{t}^{(1)}(W)=p_{t}^{(1)}(W)^{-1} V_{t}^{(1)}(W) S V_{t}^{(1)}(W)^{*} .
\]

Отметим, что если начальное состояние чистое, \( S=|\psi\rangle\langle\psi| \), то апостериорные состояния являются чистыми \( S_{t}^{(1)}(W)= \) \( =\left|\psi_{t}^{(1)}(W)\right\rangle\left\langle\psi_{t}^{(1)}(W)\right| \), где
\[
\psi_{t}^{(1)}(W)=V_{t}^{(1)}(W) \psi /\left\|V_{t}^{(1)}(W) \psi\right\| .
\]

Перейдем к случаю считающего процесса с генератором (2.18). Пусть \( \mu_{(2)} \)-мера в пространстве \( \mathscr{D} \), отвечающая пуассоновскому процессу единичной интенсивности.

Предложение 2. И.-процесс \( \left\{\mathscr{K}_{a, b}^{(2)}\right\} \) абсолютно непрерывен по мере \( \mu_{(2)} \), а именно
\[
\boldsymbol{\boldsymbol { x }}_{0 . t}^{(2)}(E)[S]=\int_{E} V_{t}^{(2)}(N) S V_{t}^{(2)}(N)^{*} d_{\mu_{(2)}}(N) ; E \in \mathscr{B}_{0, t} \cap \mathscr{D},
\]

где \( \left\{V_{t}^{(2)}(N)\right\} \) – семейство ог раниченных операторов в \( \mathscr{H} \), удовлетворяющее стохастическому дифференциальному уравнению (2.9) относительно меры \( \mu_{(2)} \).

Доказательство соотношения (2.25) требует некоторого преобразования представления (2.20). Рассмотрим унитарные операторы Вейля \( V_{z}(t)=\exp \left[z A^{+}(t)-z A(t)\right] \), где \( z \in \mathbf{C} \). При \( s \leqslant t \) имеет место соотношение
\[
V_{s}(t) * \Lambda(s) V_{s}(t)=\Lambda(s)+\bar{z} A(s)+z A^{+}(s)+|z|^{2} s \equiv \Pi(s),
\]

которое проверяется с использованием уравнения (1.27) и квантовой формулы Ито. Положим \( \bar{z}=1 \), тогда П(s) является пуассоновским процессом единичной интенсивности в пространстве

Фока. Обозначая \( \tilde{U}_{t}=V_{1}(t) * V(t) \), перепишем (2.20) в виде
\[
\boldsymbol{\mathcal { x }}_{0, t}^{(2)}(E)=\operatorname{Tr}_{\mathrm{r}\left(L^{2}\left(\mathrm{R}_{+}\right)\right)} \tilde{U}_{t}\left(S \otimes\left|\psi_{0}\right\rangle\left\langle\psi_{0}\right|\right) \tilde{U}_{t}^{*}\left(\mathrm{I} \otimes \tilde{P}_{0, t}^{(2)}(E)\right),
\]

где \( \tilde{P}_{0, t}^{(2)} \) – спеқтральная мера семейства совместимых наблюдаемых \( \Pi(s) ; \quad 0 \leqslant s \leqslant t \). Из квантовой формулы Ито вытекает уравнение для \( \tilde{U}_{t} \) :
\[
\begin{array}{c}
d \widetilde{U}_{t}=\left\{(L-\mathrm{I}) d A^{+}(t)-(L-\mathrm{I})^{*} d A(t)-\right. \\
\left.-\left[i H+\frac{1}{2}\left(L^{*} L-2 L+\mathrm{I}\right)\right] d t\right\} \tilde{U}_{t} .
\end{array}
\]

Вводя изометрические операторы \( V_{t}^{(2)} \) из \( \mathscr{H} \) в \( \mathfrak{\digamma} \) по формуле
\[
V_{t}^{(2)} \varphi=\tilde{U}_{t}\left(\varphi \otimes \psi_{0}\right) ; \quad \varphi \in \mathscr{H},
\]

и учитывая соотношения (2.5), получаем уравнение
\[
d V_{t}^{(2)}=\left\{(L-\mathrm{I}) d \Pi(t)-\left[i H+\frac{1}{2}\left(L^{*} L-\mathrm{I}\right)\right] d t\right\} V_{t}^{(2)} .
\]

Унитарный оператор \( J^{(1)} \) из п. 2.1 переводит пространство Фока \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \)в \( L^{2}(N) \), где \( N_{t} \) – классический пуассоновский процесс единичной интенсивности, при этом уравнение (2.27) переходит в \( (2.9) \), проектор \( \widetilde{P}_{0, t}^{(2)}(E) \) – в индикатор множества \( E \), а формула (2.26) – в представление (2.25).

Для распределения вероятностей в пространстве наблюдаемых траекторий и апостериорных состояний получаются форму. лы, аналогичные (2.23) – (2.25).