Алгебра \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) как банахово пространство является сопряженным к пространству ядерных операторов \( \mathfrak{T}(\mathscr{C}) \) (см. п. 1.1.1). Если \( \Psi \) – линейное отображение в \( \mathfrak{T}(\mathscr{H}) \), положительное в том смысле, что \( \Psi[T] \geqslant 0 \), если \( T \geqslant 0 \), то \( \Psi \) ограничено (см., например, \( [78 \), гл. 2]) и поэтому имеет сопряженное отображение \( \Phi=\Psi^{*}: \mathfrak{Y}(\mathscr{G}) \rightarrow \) \( \rightarrow \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \), которое является линейным положительным нормальным отображением; более того, всякое Ф с такими свойствами является сопряженным к некоторому \( \Psi \). Если \( \Psi \) положительно и, кроме того, \( \operatorname{Tr} \Psi[\mathrm{T}] \leqslant \operatorname{Tr} \mathrm{T} \) для всех \( T \in \mathfrak{T}(\mathscr{H}), T \geqslant 0 \), то \( \Psi \) называется операцией (в пространстве состояний). Это равносильно тому, что \( \Phi[I] \leqslant I \). Отображение \( \Phi \) также называется операцией (в алгебре наблюдаемых).

В квантовой статистике операции описывают изменения состояний (наблюдаемых) открытой системы в результате эволюции или макроскопического воздействия, включая отбор по какому-либо признаку (например, по результату измерения) в соответствующем статистическом ансамбле. Если \( S \) – оператор плотности исходного состояния, то число \( \mathrm{Tr} \Psi[S] \) интерпретируется как доля отобранных представителей ансамбля, а \( \Psi[S] / \operatorname{Tr} \Psi[S] \) как оператор плотности, описывающей новое состояние отобранного ансамбля. Термин «операция» был введен в известной работе Хаага и Кастлера (1964), посвященной обоснованию квантовой теории поля. Базирующийся на понятии операции аксиоматический подход к квантовой механике был развит Дэвисом и Льюисом, Людвигом и другими авторами (см., например, [78], [125], [116], [85]).

В динамической теории особенно важны операции, переводящие состояние в состояние. Это равносильно тому, что \( \operatorname{Tr} \Psi[T]=\operatorname{Tr} T \) для всех \( T \in \mathfrak{T}(\mathscr{C}) \) или же \( \Phi[\mathrm{I}]=\mathrm{I} \), где \( \Phi=\Psi^{*} \). Если, кроме того, \( Ф \) – вполне положительно, то \( \Psi \) (или Ф) называется динамическим отображением \( { }^{1)} \). Из теоремы Вигнера (п. 1.2.1) следует, что обратимые динамические отображения описываются формулами
\[
\Psi[T]=U T U^{*}, \quad \Phi[X]=U^{*} X U,
\]

где \( U \) – унитарный оператор в \( \mathscr{H} \) (если \( U \) антиунитарный, то Ф не может быть линейным отображением). В общем случае динамические отображения описывают необратимые эволюции и являются некоммутативным аналогом марковских отображений в теории вероятностей. Мерой необратимости может служить относительная энтропия квантовых состояний
\[
H\left(S_{2} \mid S_{1}\right)=\operatorname{Tr} S_{1}\left(\ln S_{1}-\ln S_{2}\right) .
\]

О свойствах относительной энтропии см. Линдблад [122], Верль [166], Петц [139]). Важнейшим является об общ енная \( H \) – теорема: для любого динамического отображения \( \Psi \) :
\[
H\left(\Psi\left[S_{2}\right] \mid \Psi\left[S_{1}\right]\right) \geqslant H\left(S_{2} \mid S_{1}\right) .
\]

Согласно следствию из п. 1.1, динамическое отображение допускает представление
\[
\Psi[T]=\sum_{n=0}^{\infty} V_{n} T V_{n}^{*}, \Phi[X]=\sum_{n=0}^{\infty} V_{n}^{*} \dot{\Lambda} V_{n},
\]

где \( \sum_{n=0}^{\infty} V_{n}^{*} V_{n}=\mathrm{I} \). Отсюда нет рудно получить
1) На свойство полной положительности эволюции открытой системы было указано, в частности в работах [117], [39].

Следствие ([123]). Отображение \( \Psi: \mathfrak{T}(\mathscr{H}) \rightarrow \mathfrak{T}(\mathscr{H}) \) является динамическим тогда и только тогда, когда существуют гильбертово пространство \( \mathscr{H}_{0} \), состояние \( \mathcal{S}_{0} \) в \( \mathscr{H}_{0} \) и унитарный оператор \( U \) в \( \tilde{\mathscr{C}}=\mathscr{H} \otimes \mathscr{H}_{0} \), такие что
\[
\Psi[S]=\operatorname{Tr}_{\mathscr{H}_{0}} U\left(S_{\otimes} S_{0}\right) U^{*},
\]

где \( \operatorname{Tr}_{\mathscr{H}_{0}} \) – частичный след в \( \mathscr{H}_{0} \).
Таким образом, динамическое отображение расширяется до обратимой эволюции составной системы, включающей исходную открытую систему и «окружение», причем возможность такого расширения обусловлена свойством полной положительности.