Если \( S_{j} \) – операторы плотности в \( \mathscr{H}_{j} \), то \( S_{1} \otimes S_{2} \) – оператор плотности в \( \mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2} \), причем
\[
\operatorname{Tr}\left(S_{1} \otimes S_{2}\right)\left(X_{1} \otimes X_{2}\right)=\operatorname{Tr} S_{1} X_{1} \cdot \operatorname{Tr} S_{2} X_{2} ; X_{j} \in \mathcal{P}\left(\mathscr{H}_{j}\right) .
\]

Операторы вида \( X \otimes \mathrm{I}_{2} \), где \( X \in \mathcal{B}\left(\mathscr{H}_{1}\right) \), а \( \mathrm{I}_{2} \) – единичный оператор в \( \mathscr{H}_{2} \), образуют подалгебру \( \mathfrak{P}_{1} \subset \mathfrak{Y}\left(\mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2}\right) \), изоморфную \( \mathfrak{Y}\left(\mathscr{H}_{1}\right) \). Формула
\[
\mathscr{E}\left(X_{1} \otimes X_{2}\right)=X_{1} \otimes\left(\operatorname{Tr} S_{2} \times X_{2}\right) \mathrm{I}_{2}
\]

определяет отображение \( \mathscr{E} \) из \( \mathfrak{P}\left(\mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2}\right) \) на \( \mathfrak{P}\left(\mathscr{H}_{1}\right) \), обладающее свойством условного ожидания
\[
\mathbf{E}_{\boldsymbol{B}}(X Y)=\mathbf{E}_{\boldsymbol{\theta}}(\mathscr{E}(X) Y) ; X \in \mathfrak{B}\left(\mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2}\right), Y \in \mathscr{P}_{1},
\]

относительно состояния \( S=S_{1} \otimes S_{2} \). В квантовой теории вероятностей условные ожидания играют меньшую роль, чем в классической, поскольку в общем случае условное ожидание на данную подалгебру \( \mathfrak{B} \) относительно данного состояния \( S \) существует лишь при весьма ограничительном соотношении между 8 и \( S \), в определенной мере, сводящем ситуацию к классической; точнее см. п. 3.1.3.

Если \( S \) – произвольный оператор плотности в \( \mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2} \), то в \( \mathscr{H}_{1} \) найдется единственный оператор плотности \( S_{1} \), такой что \( \operatorname{Tr} S_{1} X=\operatorname{Tr} S\left(X \otimes \mathrm{I}_{2}\right) ; X \in \mathscr{F}\left(\mathscr{H}_{1}\right) \).

Это же верно для любой линейной комбинации операторов плотности, т. е. для любого ядерного оператора \( T \) в \( \mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{2} \). Отображение \( T \rightarrow T_{1} \) называется частичным следом оператора \( T \) (обозначается \( T_{1}=\operatorname{Tr}_{\mathscr{x}_{2}} T \) ). Операция частичного следа аналогична нахождению маргинального распределения в теории вероятностей.