Одно из основных свойств пространства Фока – функториальное свойство
\[
\Gamma\left(\mathfrak{h}_{1} \oplus \mathfrak{h}_{2}\right)=\Gamma\left(\mathfrak{h}_{1}\right) \otimes \Gamma\left(\mathfrak{h}_{2}\right),
\]

в частности, для любого \( t \in \mathbf{R}_{+} \)
\[
\Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right)=\Gamma\left(L^{2}(0, t)\right) \otimes \Gamma\left(L^{2}(t, \infty)\right) .
\]

При этом экспоненциальные векторы, включая вакуумный, также факторизуются
\[
\psi_{f}=\psi_{f}^{(0, t)} \otimes \psi_{f}^{(t, \infty)} .
\]

Поскольку \( L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right) \)можно рассматривать как непрерывную прямую сумму (прямой интеграл) одномерных гильбертовых пространств, пространство \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \)является, в определенном смысле, непрерывным тензорным произведением. Эта структура лежит в основе связи между пространством Фока, безграничной делимостью и процессами с независимыми приращениями (см., например, [96], [138]).

Далее \( \mathfrak{b}=\mathscr{H} \otimes \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), где \( \mathscr{H} \)-некоторое «начальное» пространство. Элементы \( \mathfrak{g} \) можно рассматривать как функции \( \psi(\tau), \tau
otin \Re \), со значениями в \( \mathscr{H} \). Будет удобно не различать в написании операторы, действующие в \( \mathscr{H} \), или в \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), и их поднятия в \( \mathfrak{\emptyset} \); например, \( A(t) \) обозначает как оператор в \( \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), так и оператор \( \mathrm{I} \otimes A(t) \) в \( \mathfrak{5} \) (где \( \mathrm{I} \) – единичный оператор в \( \mathscr{H}) \). Обозначим \( \mathscr{H} \otimes \Gamma_{e} \) алгебраическое тензорное произведение \( \mathscr{H} \) и \( \Gamma_{e} \). Ссмейство (вообщс говоря, пеограниченных) операторов \( \left\{M(t) ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \), определенных на \( \mathscr{H} \otimes \Gamma_{e} \), будет называться процессом в \( \mathfrak{\text { . }} \)

Соотношения (1.8), (1.9) задают естественную фильтрацию в пространстве \( \mathfrak{G} \). Процесс \( \left\{M(t) ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)в \( \mathfrak{5} \) называется согласованным (с данной фильтрацией), если для любого \( t \in \mathbf{R}_{+} \)
\[
M(t)=M_{t]} \otimes \mathrm{I}_{[t},
\]

где \( M_{t]} \)-оператор, действующий в \( \mathscr{C} \otimes \Gamma\left(L^{2}(0, t)\right) \), а \( \mathrm{I}_{[t} \) единичный оператор в \( \Gamma\left(L^{2}(t, \infty)\right) \). Благодаря (1.8), (1.9), определено отображение условного ожидания \( \mathscr{E}_{t]} \) в алгебру операторов вида (1.10), согласованное с вакуумным состоянием \( \left|\psi_{0}\right\rangle\left\langle\psi_{0}\right| \) – Согласованный процесс называется мартингалом, если \( \mathscr{E}_{t]}[M(s)]=M(t) \) при \( s>t \). Основные процессы \( \{A(t)\} \), \( \left\{A^{+}(t)\right\},\{\Lambda(t)\} \) являются мартингалами.

Партасарати и Хадсон [108], [20] построили стохастический интеграл от согласованных процессов по основным мартингалам \( A(t), A^{+}(t), \Lambda(t) \). Дальше излагается модификация этой конструкции (см. статью А. С. Холево в [145]). Процесс \( \{M(t) \); \( t \in[0, T]\} \) называется простым, если существует разбиение \( 0=t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{N}=T \), такое что \( M(t)=M\left(t_{j-1}\right) \) для \( t \in\left[t_{j-1}\right. \), \( \left.t_{j}\right) \). Для четверки простых согласованных процессов \( \left\{M_{*}(t)\right\} \), \( \alpha=0,1,2,3 \), стохастический интеграл определяется соотнощением

\[
\begin{array}{c}
I(T) \equiv \int_{0}^{T}\left(M_{0} d \Lambda+M_{1} d A+M_{2} d A^{+}+M_{3} d t\right)= \\
=\sum_{j=1}^{N}\left\{M_{0}\left(t_{j-1}\right)\left[\Lambda\left(t_{j}\right)-\Lambda\left(t_{j-1}\right)\right]+\right. \\
+M_{1}\left(t_{j-1}\right)\left[A\left(t_{j}\right)-A\left(t_{j-1}\right)\right]+M_{2}\left(t_{j-1}\right)\left[A^{+}\left(t_{j}\right)-A^{+}\left(t_{j-1}\right)\right]+ \\
\left.+M_{3}\left(t_{j-1}\right)\left(t_{j}-t_{j-1}\right)\right\}
\end{array}
\]

Из неравенств Журне (см. [128, п. V.1.4]) вытекает оценка
\[
\begin{array}{l}
\sup _{0 \leqslant t \leqslant T}\left\|I(t) \psi \otimes \tilde{\psi}_{f}\right\|^{2} \leqslant C(\|f\|) \cdot\left\{\int_{0}^{T}|f(t)|^{2} \times\right. \\
\times\left\|M_{0}(t) \psi \otimes \psi_{f}\right\|^{2} d t+\int_{0}^{T}\left[\left\|M_{1}(t) \psi \otimes \psi_{f}\right\|^{2}+\right. \\
\left.\left.+\left\|M_{2}(t) \psi \otimes \psi_{f}\right\|^{2}\right] d t+\left[\int_{0}^{T}\left\|M_{3}(t) \psi \otimes \psi_{f}\right\| d t\right]^{2}\right\},
\end{array}
\]

где \( \psi € \mathscr{H}, f \in L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right) \). Назовем \( \left\{M_{\alpha}(t)\right\} \) допустимой четверкой, если для любого \( \varepsilon>0 \) найдется четверка \( \left\{M_{\alpha}(t)\right\} \) простых согласованных процессов, такая что
\[
\begin{array}{l}
\underset{0 \leqslant t<T}{\operatorname{ess} \sup }\left\|\left[M_{0}(t)-\tilde{M}_{0}(t)\right] \psi \otimes \psi_{f}\right\|<\varepsilon, \\
\int_{0}^{T}\left\|\left[M_{1,2}(t)-\tilde{M}_{1,2}(t)\right] \psi \otimes \psi_{f}\right\|^{2} d t<\varepsilon, \\
\int_{0}^{T}\left\|\left[M_{3}(t)-\tilde{M}_{3}(t)\right] \psi \otimes \psi_{f}\right\| d t<\varepsilon,
\end{array}
\]

и сильно допуст имой четверкой, если для любого \( \varepsilon>0 \) найдется четверка \( \left\{\tilde{M}_{\alpha}\right\} \) простых согласованных процессов со значениями в \( \mathfrak{J}(\mathfrak{\mathfrak { C }}) \), такая что
\[
\begin{array}{l}
\underset{0 \leqslant t \leqslant T}{\operatorname{ess} \sup _{0}}\left\|M_{0}(t)-\tilde{M}_{0}(t)\right\|<\varepsilon, \\
\int_{0}^{T}\left\|M_{1,2}(t)-\tilde{M}_{1,2}(t)\right\|^{2} d t<\varepsilon, \\
\int_{0}^{T}\left\|M_{3}(t)-\tilde{M}_{3}(t)\right\| d t<\varepsilon . \\
\end{array}
\]

Из неравенства (1.12) вытекает, что для любой допустимой четверки стохастический интеграл
\[
I(T)=\int_{0}^{T}\left(M_{0} d \Lambda+M_{1} d A+M_{2} d A^{+}+M_{3} d t\right)
\]

определен на \( \mathscr{C} \otimes \Gamma_{e} \) как сильный предел стохастических интегралов вида (1.11) от простых процесов \( \left\{\tilde{M}_{\alpha}\right\} \) и является согласованным процессом. Если \( M_{3} \equiv 0 \), то \( I(t) \) является мартингалом; доказано, что достаточно произвольный ограниченный мартингал в пространстве Фока является стохастическим интегралом (Партасарати и Синха). Пример неограниченного мартингала, не представимого в виде стохастического интеграла по основным процессам, содержится в работе Журне [113].

Из определений (1.2) основных мартингалов вытекает явная формула (В. П. Белавкин [35])
\[
\begin{array}{c}
(I(t) \psi)(\tau)=\int_{0}^{t}\left[M_{3}(s) \psi+M_{1}(s) \psi^{(s)}\right](\tau) d s+ \\
\quad+\sum_{\substack{s \in \tau \\
s \leqslant t}}\left[M_{2}(s) \psi+M_{0}(s) \psi^{(s)}\right](\tau \backslash\{s\}),
\end{array}
\]

где \( \psi^{(s)}(\tau)=\psi(\tau \bigcup\{s\}) \), которая может служить для альтернативного определения стохастического интеграла, имеющего смысл для более широких классов процессов (включая несогласованные процессы).

Стохастический интеграл по процессам в антисимметричном пространстве Фока рассматривался Барнетом, Стритером, Уайлдом [62], [141], Хадсоном и Эпплбаумом [107].