Набор операторов плотности \( \left\{S_{\theta}\right\} \) определяет простейшую модель квантового канала связи (см. [39], [98]), для которого \( \theta \) играет роль «сигнала», пробегающего входной алфавит \( 1, \ldots, m \). Кодирование задается распределением вероятностей \( \pi=\left\{\pi_{\theta}\right\} \) на входном алфавите, а декодирование – разложением единицы \( \mathbf{M}=\left\{M_{u}\right\} \), где \( u \) пробегает выходной алфавит \( 1, \ldots, p \). Вероятность получить на выходе символ \( и \) при условии, что на входесигнал \( \theta \), дается формулой (2.1). Таким образом, квантовый канал связи можно рассматривать как обычный канал со специфическими ограничениями на переходные вероятности, неявно выраженными формулой (2.1). Чему равна пропускная способность такого канала связи?

Рассмотрим информационное количество \( \mathscr{I}_{1}(\pi, \mathbf{M}) \), определяемое формулой типа (2.4) (где \( u \) пробегает от 1 до \( p \) ) и величину \( C_{1}=\sup \mathscr{I}_{1}(\pi, M) \), где супремум берется по всевоз\( \pi ; M \)

можным кодированиям и декодированиям. В раниих работах для оценки пропускной способности использовалась величина
\[
\bar{C}=\sup _{\pi}\left[H\left(\sum_{\theta=1}^{m} \pi_{\theta} S_{\theta}\right)-\sum_{\theta=1}^{m} \pi_{\theta} H\left(S_{\theta}\right)\right],
\]

где \( H(S)=-\mathrm{Tr} S \ln S \)-энтропия фон Неймана квантового состояния \( S \). В [40], [121] показано, что для любого кодиро-

вания \( \pi \) и декодирования \( \boldsymbol{M} \)
\[
\mathscr{I}_{1}(\boldsymbol{\pi}, \mathbf{M}) \leqslant H\left(\sum_{\theta=1}^{m} \pi_{\theta} S_{\theta}\right)-\sum_{\theta=1}^{m} \pi_{\theta} H\left(S_{\theta}\right),
\]

причем если операторы \( S_{\theta} \) неперестановочны, то неравенство строгое \( { }^{1)} \). По-видимому, при том же условии \( C_{1}<\bar{C} \), хотя в полной общности это не было установлено. Однако как показывают следующие рассуждения, величина \( C_{1} \) также не может рассматриваться как пропускная способность.

Правильное определение пропускной способности должно быть связано с предельной скоростью асимптотически безошибочной передачи информации. Рассмотрим \( n \)-ю степень канала в пространстве \( \mathscr{H}_{n}=\mathscr{H}^{\otimes n} \), определя емую состояниями \( S_{v}= \) \( =S_{\theta_{1}} \otimes \ldots \otimes S_{\theta_{n}} \), где \( v=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right) \) – всевозможные слова входного алфавита длины \( n \). Пусть \( \mathscr{I}_{n}\left(\pi\right. \), М) и \( C_{n}=\sup _{\tau ; \mathbf{M}} \mathscr{I}_{n}(\pi, \mathrm{M})- \) величины, определяемые для \( n \)-й степени канала аналогично \( \mathscr{I}_{1}(\boldsymbol{\pi}, \mathbf{M}) \) и \( C_{1} \). Информационное количество \( \mathscr{I}_{n}(\boldsymbol{\pi}, \boldsymbol{M}) \) обладает свойством аддитивности [40]
\[
\begin{aligned}
& \sup _{\mathbf{M}^{(n)}, \mathbf{M}^{(m)}} \mathscr{I}_{n+m}\left(\boldsymbol{\pi}^{(n)} \times \boldsymbol{\pi}^{(m)}, \mathbf{M}^{(n)} \otimes \mathbf{M}^{(m)}\right)= \\
= & \sup _{M^{(n)}} \mathscr{I}_{n}\left(\pi^{(n)}, \mathbf{M}^{(n)}\right)+\sup _{M^{(m)}} \mathscr{I}_{m}\left(\boldsymbol{\pi}^{(m)}, \mathbf{M}^{(m)}\right),
\end{aligned}
\]

откуда следует, что последоватељьость \( \left\{C_{n}\right\} \) субаддитивна, \( C_{n}+C_{m} \leqslant C_{n+m} \), а следовательно, существует
\[
C=\lim _{n \rightarrow \infty} C_{n} / n=\sup _{n} C_{n} / n .
\]

Основываясь на классической теореме кодирования, можно доказать, что при \( R<C \) сушествуют такие кодирования и декодирования объема \( N=\left[2^{n R}\right] \), что средняя ошибка
\[
\bar{\lambda}(n, N)=\frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N}\left(1-\operatorname{Tr} S_{v_{j}} M_{j}\right)
\]

стремится к нулю при \( n \rightarrow \infty \), тогда как при \( R>C \) она не стремится к нулю при любом выборе кодирования и декодирования [42]. Это дает основание назвать величину \( C \) пропускной способностью данного квантового канала связи.

Следует отметить, что для соответствующего классического канала «без памяти» последовательность \( \left\{C_{n}\right\} \) аддитивна и поэтому \( C \equiv C_{n} / n=C_{1} \). Оказывается, что в квантовом случае возможно строгое неравенство
\[
C_{1}<C \text {, }
\]
1) Это утверждение было высказано Л. Б. Левитиным в \( 1969 \mathrm{r} \).

что соответствует парадоксальному с классической точки зрения наличию «памяти» в произведении независимых каналов. Измерение в таком произведении может нести больше информации, чем сумма информаций, получаемых в каждой компоненте. Этот факт, разумеется, обусловлен необычными статистическими свойствами составных квантовых систем и является еще одним проявлением квантовой целостности.

Доказательство этого факта, данное в работе А. С. Холево [42], использует следующую оценку пропускной способности \( C \) для канала с чистыми состояниями \( S_{\theta}=\left|\psi_{\theta}\right\rangle\left\langle\psi_{\theta}\right| \) :
\[
C \geqslant \widetilde{C} \equiv-\ln \min _{\pi}\left[\sum_{j, k=1}^{m} \pi_{j} \pi_{k}\left|\left\langle\psi_{j} \mid \psi_{k}\right\rangle\right|^{2}\right],
\]

в основе которой лежит неравенство (2.9) для средней ошибки и модификация метода случайных кодов, предложенная Р. Л. Стратоновичем и А. Г. Ванцян в [36]. Для двоичного канала \( (m=2) \)
\[
\widetilde{C}=1-\ln \left(1+\varepsilon^{2}\right)>1-\varepsilon^{2} / \ln 2,
\]

где \( \varepsilon=\left|\left\langle\psi_{1} \mid \psi_{2}\right\rangle\right| \). В случае «почти ортогональных состояний»
\[
C_{1} \leqslant 1+\frac{1}{8} \varepsilon^{2} \ln \varepsilon^{2}+o\left(\varepsilon^{2} \ln \varepsilon^{2}\right), \varepsilon \rightarrow 0,
\]

откуда следует (2.13) для достаточно малых \( \varepsilon \).
В этой области остается ряд трудных нерешенных вопросов [98]. Определенная формулой (2.12) пропускная способность не вычислена в точном виде даже для двоичного канала. Ввиду серьезных аналитических трудностей, представляют большой интерес всевозможные оценки и приближенные результаты (см. Бенджбаллах и Чарбит [67], В. П. Белавкин [63], Ингарден [110], Линдблад [121], Чемберс [74]). В общем случае \( C \leqslant \bar{C} \), однако неизвестно, достигается ли здесь равенство для неперестановочных операторов плотности \( S_{\theta} \).