Пусть \( x \)-одномерный параметр, так что \( G=\mathscr{X} \) является ве-
\( 5-9280 \)

щественной прямой \( \mathbf{R} \) (случай параметра сдвига), или единичной окружностью \( \mathbf{T} \) (случай параметра поворота), и пусть \( x \rightarrow \) \( \rightarrow V_{\boldsymbol{x}}=e^{-i x \boldsymbol{A}}- \) унитарное представление группы \( G \) в \( \mathscr{H} \). Спектр \( \Lambda \) оператора \( A \) содержится в двойственной группе \( \hat{G} \), которая совпадает с \( \mathbf{R} \) в случае \( G=\mathbf{R} \) и с множеством целых чисел \( \mathbf{Z} \) в случае \( G=\mathbf{T} \).

Условие ковариантности обобщенной наблюдаемой \( \mathbf{M} \) имеет вид
\[
V_{x}^{*} M(B) V_{x}=M(B-x) ; \quad B \in \mathscr{B}(G), x \in G,
\]

где \( B-x=\{y: y+x \in B\} \), причем в случае \( G=\mathbf{T} \) имеется в виду сложение по модулю \( 2 \pi \). Вводя операторы
\[
U_{y}=\int_{G} e^{i y x} M(d x), \quad y \in \hat{G},
\]

получаем, что (3.9) равносильно соотношению Вейля (см. п. 1.2.3)
\[
U_{y} V_{x}=e^{i x y} V_{x} U_{y} ; \quad x \in G, y \in \hat{G},
\]

в котором, однако, операторы \( U_{y} \), вообще говоря, неунитарны. В этом смысле обобщенная наблюдаемая \( \boldsymbol{M} \) является канонически сопряженной к наблюдаемой \( A \).

Для обобщенной канонической пары ( \( A, \mathbf{M} \) ) имеет место соотношение неопределенностей [100]
\[
\Delta_{S}^{M}(y) \cdot \mathbf{D}_{S}(A) \geqslant 1 / 4 ; \quad y \in \hat{G},
\]

где \( \Delta_{S}^{\mathrm{M}}(y)=y^{-2}\left\{\left|\operatorname{Tr} S U_{y}\right|^{-2}-1\right\}, \quad y
eq 0 \), есть некоторая функциональная мера неопределенности ковариантной обобшенной наблюдаемой \( \mathbf{M} \) в состоянии \( S \) (см. [43, § IV.7]). Если \( G=\mathbf{R} \) и \( \mathbf{M} \) имеет конечную дисперсию \( \mathbf{D}_{s}(\boldsymbol{M}) \), то \( \lim _{y \rightarrow 0} \Delta_{S}^{M}(y)=\mathbf{D}_{s}(\mathbf{M}) \), так что из (3.11) следует обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга
\[
\mathbf{D}_{S}(\mathbf{M}) \mathbf{D}_{s}(A) \geqslant 1 / 4 .
\]

Для параметра поворота ( \( G=\mathbf{T} \) ) дисперсия не является адекватной мерой неопределенности, и неравенство (3.11) следует рассматривать как окончательное. Различные формы соотношения неопределенностей для угловых переменных обсуждались в обзорах [19], [17]. Следует отметить, что обобщенная наблюдаемая угла поворота существует всегда, поскольку условия предложения 1 из предыдущего пункта выполняются автоматически ( \( \hat{G}=\mathbf{Z}) \). С другой стороны, условия предложения 2 не могут быть выполнены, если \( \operatorname{dim} \mathscr{H}<\infty \) (как для систем с конечным спином), и в этих случаях обычной наблюдаемой угла поворота не существует.

Наибольший интерес представляют ковариантные обобщенные наблюдаемые, имеющие минимальную неопределенность.

Теорема ([100]). Пусть \( S=|\psi\rangle\langle\psi| \) – чистое состояние, тогда
\[
\min _{\mathbf{M} \in \mathfrak{M}^{a, \mathbf{v}_{(G)}}} \Delta_{S}^{\mathrm{M}}(y)=y^{-2}\left[\left(\int_{\hat{G}}\left\|\psi\left(y^{\prime}\right)\right\|\left\|\psi\left(y^{\prime}+y\right)\right\| d y^{\prime}\right)^{-2}-1\right] .
\]

В частности, для \( G=\mathbf{R} \)

где \( \psi(y) \) – компоненты вектора \( \psi \) в представлении, диагонализующем оператор \( A \). Минимум достигается на ковариантной наблюдаемой \( \boldsymbol{M}^{*} \) класса \( \mathfrak{R}_{c}{ }^{G, V} \), которая задается ядром \( P^{*}\left(y, y^{\prime}\right) \) таким, что \( P^{*}\left(y, y^{\prime}\right) \psi\left(y^{\prime}\right) /\left\|\psi\left(y^{\prime}\right)\right\|=\psi(y) /\|\psi(y)\| ; \quad y, \quad y^{\prime} \in \Lambda \).

Величины (3.12), (3.13) дают внутреннюю меру неопределенности параметра \( x \) в состоянии \( S \).

Таким образом, требования ковариантности и минимальной неопределенности (относительно чистых состояний) определяют канонически сопряженную обобщенную наблюдаемую однозначно с точностью до калибровочного преобразования (3.7). Следует отметить, что аналогичная степень произвола остается и в стандартной формулировке квантовой механики, поскольку в случае \( \Lambda=\hat{G} \) класс \( \mathfrak{M}_{c}{ }^{\sigma, V}(G) \) совпадает с классом ковариантных наблюдаемых \( \mathfrak{P}_{0}{ }^{G, v}(G) \).

Пример. Рассмотрим квантовую систему с положительным гамильтонианом \( H \). Представление \( t \rightarrow V_{t}=e^{-i H t} \) группы временных сдвигов не удовлетворяет условиям предложения 2 предыдущего пункта, поскольку \( \Lambda \subset R_{+} \). Поэтому ковариантной наблюдаемой временного сдвига не существует \( { }^{1)} \). Предположим для простоты, что \( \Lambda=\mathbf{R}_{+} \)и что спектр \( H \) однороден (т. е. имеет постоянную кратность для п. в. \( \lambda \in \Lambda \) ). Тогда \( H \) унитарно эквивалентен оператору умножения на \( \lambda \) в гильбертовом пространстве \( \mathscr{C}=L_{\mathscr{K}}^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right) \)квадратично-интегрируемых функций \( \psi= \) \( =[\psi(\lambda)] \) на \( \mathbf{R}_{+} \)со значениями в некотором гильбертовом пространстве \( \mathscr{K} \). Ковариантные обобщенные наблюдаемые класса \( \mathfrak{M}_{c}^{\mathbf{R}, \mathrm{V}} \) (R) с точностью до калибровочного преобразования (3.7) эквивалентны наблюдаемой \( \mathbf{M}_{c} \), определяемой соотношением (3.8), т. е.
\[
\left\langle\psi \mid M_{c}(B) \varphi\right\rangle=\int_{\mathbf{R}_{+} \mathbf{R}_{+}} \int_{B}\left\langle\psi(\lambda) \mid \varphi\left(\lambda^{\prime}\right)\right\rangle \mathscr{K} \int_{B} e^{i\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) \tau} \frac{d \tau}{2 \pi} .
\]

Разложение единицы \( \boldsymbol{M}_{c} \) является обобщенной спектральной мерой в смысле [2] максимального симметричного (но не самосо-
1) На трудности с определением наблюдаемой времени в квантовой механике указывал Паули (см. Handbuch der Physik.- 1958.-5/1.- С. 60-63).
\( 5^{*} \)

пряженного) оператора
\( T=i \frac{d}{d \lambda}, \quad \mathscr{D}(T)=\{\psi: \psi \) абсолют но непрерывна, \( \psi(0)=0 \),
\[
\left.\int \mathrm{R}_{+}\left\|\frac{d}{d \lambda} \psi(\lambda)\right\|_{\mathscr{K}}^{2} d \lambda<\infty\right\} .
\]

Минимальное расширение Наймарка разложения единицы \( \mathbf{M}_{\text {с }} \) в пространстве \( \tilde{\mathscr{H}}=L \mathscr{K}(\mathbf{R}) \) дается формулой, аналогичной (3.14), с заменой \( \mathbf{R}_{+} \)на \( \mathbf{R} \), и является спектральной мерой самосопряженного оператора \( i \frac{d}{d \lambda} L_{\mathscr{K}}^{2}(\mathbf{R}) \).