Пусть \( G \) – локально компактная группа, действующая непрерывно на транзитивном G-пространстве \( \mathscr{X} \) и \( \mathbf{V}: g \rightarrow V_{g}, g \in G,- \) непрерывное (проективное) унитарное представление группы \( G \) в гильбертовом пространстве \( \mathscr{H} \). Разложение единицы \( \mathbf{M}: B \rightarrow M(B), B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) \) в \( \mathscr{H} \) ковариантно по отношению к \( \mathbf{V} \), если
\[
V_{g} * M(B) V_{g}=M\left(g^{-1} B\right) ; g \in G, B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) .
\]

В квантовой механике \( \mathscr{X} \) является пространством значений физического параметра (обобщенной координаты) \( x \), обладающего группой симметрий (движений) G. Фиксируем \( x_{0} \in \mathscr{B} \) и оператор плотности \( S_{0} \). Соотношение
\[
S_{x}=V_{g} S_{0} V_{g}{ }^{*}, \text { где } x=g x_{0},
\]

описывает преобразование квантового состояния, отвечающее движению \( g \). Рассмотрим обобщенную наблюдаемую \( \mathbf{M} \), удовлетворяющую условию ковариантности (3.1), и пусть \( \mu_{x}^{M}(B)= \) \( =\operatorname{Tr} S_{x} M(B) \) – ее распределение вероятностей в состоянии \( S_{\boldsymbol{*}} \). Тогда условие (3.1) равносильно следующему:
\[
\mu_{g x_{0}}^{\mathrm{M}}(g B)=\mu_{x_{0}}^{\mathrm{M}}(B) ; \quad B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}), g \in G,
\]

для любого состояния \( S_{0} \). Это означает, что статистика наблюдаемой \( \mathbf{M} \) преобразуется согласно движениям \( g \) в пространстве обобщенной координаты \( \mathscr{X} \) (см. пример в п. 1.2.3). Условие ковариантности, таким образом, дает правило для установления соответствия между классическими параметрами и квантовыми наблюдаемыми.

Такое соответствие является, конечно, далеко не однозначным. Среди множества ковариантных обобщенных наблюдаемых основной интерес представляют те, которые описывают предельно точные измерения соответствующего параметра. Рассмотрим задачу оценивания параметра \( x \in \mathscr{X} \) в семействе состояний (3.2). Пусть на множестве \( \mathscr{X}=\Theta \) задана функция отклонения \( W_{\theta}(x) \), такая что \( W_{g \theta}(g x)=W_{\theta}(x) \). Среднее отклонение
\[
\mathscr{R}_{\theta}\{\boldsymbol{M}\}=\int_{\mathscr{X}} W_{\theta}(x) \mu_{\theta}^{\mathrm{M}}(d x)
\]

при условии (3.1) не зависит от \( \theta \). Минимум аффинного функционала (3.4) достигается в крайней точке выпуклого множества \( \mathfrak{R}^{G, V}(\mathscr{X}) \) ковариантных обобщенных наблюдаемых. Обозначим \( \mathfrak{P}_{0}{ }^{G, V}(\mathscr{X}) \) подмножество ковариантных наблюдаемых, задаваемых ортогональными разложениями единицы. Проблема соответствия в математическом плане сводится к изучению запаса элементов и структуры множеств \( \mathfrak{R}_{0}{ }^{G, V}(\mathscr{X}), \mathfrak{P}^{G . V}(\mathscr{X}) \). В общем случае
\[
\mathfrak{M}_{0}^{G, \mathrm{v}}(\mathscr{X}) \underset{
eq}{\subsetneq} \operatorname{Extr} \mathfrak{M}^{G, \mathrm{v}}(\mathscr{X}) .
\]

Целый ряд парадоксов в стандартной формулировке квантовой механики обусловлен тем, что множество \( \mathfrak{M}_{0}{ }^{G}, \mathbf{V}(\mathscr{X}) \) оказывается пустым. С другой стороны, \( \operatorname{Extr} \mathfrak{R}^{G, V}(\mathscr{X}) \) имеет значительно более обширный запас элементов, среди которых и находится обобщенная квантовая наблюдаемая, отвечающая данному классическому параметру.