С точки зрения статистической механики закономерен вопрос – насколько понятие динамической полугруппы согласуется с более фундаментальным законом обратимой эволюции для изолированной системы. В физических приложениях управляющее уравнение (2.1) получается при рассмотрении взаимодействия квантовой системы с окружением в марковском приближении (пределы слабого или сингулярного взаимодействия). Строгое обоснование такого приближения требует достаточно громоздких оценок даже для простых моделей. Имеется ряд обзоров [152], [56], [93], [27], [52], в которых эта проблема квантовой статистической механики получила всестороннее освещение, и лучшее, что здесь можно предложить – это обратиться к одному из этих обзоров.

В принципиальном плане представляет интерес также постановка обратной задачи о расширении динамической полугруппы до группы автоморфизмов, т. е. представление марковской динамики через обратимую динамику открытой системы, взаимодействующей с окружением. Возможность такого расширения обусловлена, главным образом, свойством полной положительности (Дэвис; Эванс, Льюис; см. [84]).

Теорема. Пусть \( \left\{\Psi_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)- непрерывная по норме динамическая полугруппа в пространстве состояний \( \mathcal{S}(\mathscr{H}) \). Найдутся гильбертово пространство \( \mathscr{H}_{0} \), состояние \( S_{0} \) в \( \mathscr{H}_{0} \) и сильно непрерывная группа унитарных операторов \( \left\{U_{t} ; t \in \mathbf{R}\right\} \) в \( \mathscr{H} \otimes \mathscr{H}_{0} \), такие что
\[
\Psi_{t}[S]=\operatorname{Tr} \mathscr{H}_{0} U_{t}\left(S \otimes S_{0}\right) U_{t}^{*} ; \operatorname{SES}(\mathscr{H}),
\]

для всех \( t \in \mathbf{R}_{+} \).
В п. 5.2.2 будет приведена явная конструкция расширения, допускающая прозрачное динамико-статистическое истолкование. Следует отметить, что одна и та же динамическая полугруппа может иметь много неэквивалентных расширений (даже если требовать минимальность расширения). Дополнительный свет на структуру возможных расширений проливает понятие квантового случайного процесса. Согласно определению Аккарди, Фриджерио и Льюиса (1980), квантовый случайный процесс мейство *-гомоморфизмов некоторой фиксированной \( C^{*} \)-алгебры \( \mathfrak{Z}_{\text {в }} \mathfrak{A}, \varphi- \) состояние на \( \mathfrak{A} \). При определенных условиях регулярности квантовый случайный процесс однозчачно с точностью до эквивалентности восстанавливается по корреляционным ядрам
\[
\begin{array}{c}
w_{1}^{t_{1}, \ldots, t_{n}}\left(X_{1}, \ldots, X_{n} ; Y_{1}, \ldots, Y_{n}\right)= \\
=\varphi\left(j_{t_{1}}\left(X_{1}\right)^{*} \ldots j_{t_{n}}\left(X_{n}\right)^{*} j_{t_{n}}\left(Y_{n}\right) \ldots j_{t_{1}}\left(Y_{1}\right)\right)
\end{array}
\]
(некоммутативный аналог теоремы А. Н. Колмогорова о продолжении системы конечномерных распределений) (см. сборник [20]). В классическом случае \( \mathfrak{A} \) и \( \mathfrak{8} \) коммутативные алгебры измеримых ограниченных функций, соответственно, на пространстве элементарных исходов \( \Omega \) и на фазовом пространстве системы \( E,\left(j_{t}\right) \) определяется семейством случайных величин на \( \Omega \) со значениями в \( E \), а \( \varphi \) – функционал математического ожидания, соответствующий вероятностной мере на \( \Omega \).

С квантовым случайным процессом связываются семейства подалгебр «прошлого», «настоящего» и «будущего»
\[
\mathfrak{A}_{t 1}=\underset{s \leqslant t}{\vee} j_{s}(\mathfrak{F}), \quad \mathfrak{A}_{t}=j_{t}(\mathfrak{K}), \quad \mathfrak{A}_{[t=} \underset{s \geqslant t}{\bigvee} j_{s}(\mathfrak{W}) .
\]

Процесс называется марковским, если существует согласованное с \( \varphi \) семейство условных ожиданий \( \left(\mathscr{E}_{t]}\right)_{t \in R} \) из \( \mathfrak{A} \) на \( \mathfrak{A}_{t 1} \), такое что
\[
\mathscr{E}_{t]}\left(\mathfrak{A}_{[t}\right) \subseteq \mathfrak{A}_{t},
\]

ковариантным марковския, если дополнительно существует группа *-автоморфизмо в \( \left(\alpha_{t}\right)_{t \in R} \) алгебры \( \mathfrak{A} \), такая что \( \alpha_{t}\left(\mathfrak{A}_{s]}\right)= \) \( =\mathfrak{A}_{t+s]} ; t, s \in \mathrm{R} \), и \( \alpha_{t} \cdot \mathscr{E}_{s]} \cdot \alpha_{-t}=\mathscr{E}_{t+s 1} \), и стационарным марковским, если \( \varphi \) инвариантно относительно \( \left(\alpha_{t}\right) \). Для ковариантного марковского процесса соотношение
\[
\Phi_{t}[X]=j_{t}^{-1} \mathscr{E}_{t]} j_{t}[X]
\]

при выполнении некоторых условий непрерывности определяет динамическую полугруппу в \( \mathfrak{B} \). Обратно, всякая непрерывная по норме квантовая динамическая полугруппа \( \left\{\Phi_{t}\right\} \) расширяется до ковариантного марковского процесса, удовлетворяющего соотношению (2.12). Если же динамическая полугруппа удовлетворяет условию детального равновесия, то она расширяется до стационарного марковского квантового случайного процесса (Горини, Фриджерио). Условие детального равновесия относи* тельно состояния \( S \) для полугруппы \( \left\{\Phi_{t}\right\} \) в \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) означает, что существует другая динамическая полугруппа \( \left\{\Phi_{t}{ }^{+}\right\} \)в \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \), такая что
\[
\operatorname{Tr} S \Phi_{t}{ }^{+}[X] Y=\operatorname{Tr} S X \Phi_{t}[Y] ; \quad X, Y \in \mathcal{H}(\mathscr{H}),
\]

с инфинитезимальным оператором \( \mathscr{L}^{+} \), удовлетворяющим соотношению
\[
\mathscr{L}[X]-\mathscr{L}+[X]=2 i[H, X],
\]

где \( H \in \mathfrak{P}_{h}(\mathscr{H}) \) (состояние \( S \) с необходимостью оказывается стационарным для \( \Phi_{t} \) и \( \Phi_{t}{ }^{+} \)). До сих пор отсутствует полное описание динамических полугрупп, допускающих стационарные марковские расширения.

Фриджерио и Маассен [87] указали широкий класс полугрупп, не удовлетворяющих условию детального равновесия, но допускающих расширение с помощью «квантового пуассоновского процесса». Систематическое исследование стационарных марковских расширений предпринял Кюммерер [119]. Он установил прямую связь между эргодическими свойствами динамического отображения (неприводимость, слабое, сильное перемешивание) и его минимального стационарного марковского расширения. Кюммерер и Маассен [120] показали, что квантовая динамическая полугруппа в конечномерном гильбертовом пространстве допускает стационарное марковское расширение с помощью классического случайного процесса тогда и только тогда, когда ее инфинитезимальный оператор имеет вид

\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}[\mathrm{X}]= & i[H, X]+\sum_{s=1}^{k}\left(A_{s} X A_{s}-A_{s}^{2}{ }^{\circ} X\right)+ \\
& +\sum_{r=1}^{l} \lambda_{r}\left(U_{r}^{*} X U_{r}-X\right),
\end{aligned}
\]

где \( A_{s} \) – эрмитовы, \( U_{r} \) – унитарные операторы, \( \lambda_{r}>0 \). Oператор \( (2.13) \) является суммой выражений (2.2), (2.3), соответствующих гауссовским и пуассоновским полугруппам, а расширение получается с помощью случайного блуждания на группе автоморфизмов алгебры \( \mathfrak{M}_{n} \).

Неоднозначность расширения динамической полугруппы до случайного процесса связана с тем, что знание полугруппы \( \left\{\Phi_{t}\right\} \) позволяет восстановить лишь хронологически-упорядоченные корреляционные ядра
\[
\begin{array}{c}
w_{t_{1}, \ldots, t_{n}}\left(X_{1}, \ldots, X_{n} ; Y_{1}, \ldots, Y_{n}\right)== \\
=\varphi_{0 j}\left(\Phi_{t_{1}}\left[X_{1}^{*} \Phi_{t_{2}-t_{1}}\left[\ldots \Phi_{t_{n}-t_{n-1}}\left[X_{n}^{*} Y_{n}\right] \ldots\right] Y_{1}\right]\right),
\end{array}
\]

для которых \( 0<t_{1}<\ldots<t_{n} \) (здесь \( \varphi_{0}=\varphi \mid \mathscr{A}_{0} \) – начальное состояние). В классической теории вероятностей корреляционные ядра зависят от времен \( t_{1}, \ldots, t_{n} \) симметричным образом; из. вестная конструкция Колмогорова-Даниэля однозначно сопоставляет полугруппе переходных вероятностей марковский процесс, являющийся ее минимальным расширением до группы временных сдвигов в пространстве траекторий. Определение квантового случайного процесса, основанное только на хронологически-упорядоченных ядрах, было предложено Линдбладом [124], некоммутативные обобщения конструкции КолмогороваДаниэля рассматривались Винсент-Смитом [161], В. П. Белавкиным [3], Соважо [146].

Алицки и Мессер установили существование и единственность решения класса нелинейны й кинетических уравнений, в частности, квантового уравнения Больцмана:
\[
\frac{d S t}{d_{t}}=\operatorname{Tr}_{(2)} W\left(S_{t} \otimes S_{t}\right) W^{*}-\left(\operatorname{Tr} S_{t}\right) \cdot S_{t},
\]

где \( W \) – унитарный «оператор парных столкновений» в \( \mathscr{H} \otimes \mathscr{H} \), \( \operatorname{Tr}_{(2)} \) – частичный след по второму множителю в \( \mathscr{G} \otimes \mathscr{H} \). Отвечая на вопрос, поставленный Стритером в [143], Фриджерио и Аратари построили расширение «нелинейной квантовой динамической полугруппы», определенной уравнением (2.14) по унитарной эволюции в квантовой системе, состояцей из бесконечного числа частиц с парными взаимодействиями (квантовое обобщение «карикатуры Мак-Қина» классического уравнения Больцмана). В. П. Белавкин [4] дал конструкцию квантового ветвящегося процесса, в котором одночастичная динамика описывается полугруппой нелинейных вполне положительных отображений общего вида.