Пусть \( (\mathscr{X}, \mathscr{B}(\mathscr{E})) \) – измеримое пространство. В дальнейшем часто \( \mathscr{X} \) стандартно измеримое пространство, т. е. борелевское подмножество полного сепарабельного метрического пространства. Стандартные измеримые пространства одинаковой мощности изоморфны (см., например, [160, гл. V]), поэтому с точки зрения теории меры они эквивалентны борелевским подмножествам вещественной прямой \( \mathbf{R} \).

Разложением единицы в гильбертовом пространстве \( \mathscr{H} \) называется нормированная положительная операторнозначная мера ва \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \), т. е. функция множеств \( \mathbf{M}: \mathscr{B}(\mathscr{X}) \rightarrow \mathscr{P}(\mathscr{H}) \), удовле-н творяющая условиям:

1) \( M(B) \) положительный оператор в \( \mathscr{H} \) для любого \( B \in \mathscr{B}(\mathscr{H}) \)
2) Если \( \left\{B_{j}\right\} \) – конечное или счетное разбиение \( \mathscr{P} \) на попарно-непересекающиеся измеримые нодмножества, то
\[
\sum_{j} M\left(B_{j}\right)=1
\]

где ряд сходится сильно.
Если \( M(B)^{2}=M(B) \) для всех \( B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) \), то \( \mathbf{M} \) – ортогональное разложение единицы (см. п. 1.1.3). Неортогональные разложения единицы (на \( \mathbf{R} \) ) появились в работе Карлемана (1923), в связи с проблемой спектрального разложения несамосопряженных операторов и были детально изучены в 1940 -60-е годы (см., например, [2], [30], [68]).

Теорем а (M. А. Наймарк, 1940). Всякое разложение единицы в \( \mathscr{C} \) может быть расширено до ортогонального разложения единицы, т. е. существует гильбертово пространство \( \tilde{\mathscr{C}} \supset \mathscr{H} \) и ортогональное разложение единицы \( \mathrm{E}: \mathscr{B}(\mathscr{X}) \rightarrow \mathfrak{E}(\widetilde{\mathscr{H}}) \) в \( \tilde{\mathscr{H}} \) такое, что
\[
M(B)=P E(B) P ; \quad B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}),
\]

где \( P \) – проектор из \( \tilde{\mathscr{H}} \) на \( \mathscr{H} \). Если \( \mathscr{H} \) – сепарабельно, а \( \mathscr{X} \) стандартно, то \( \tilde{\mathscr{H}} \) можно выбрать сепарабельным. Существует единственное с точностью до унитарной эквивалентности минимальное расширение, характеризующееся тем свойством, что множество \( \{E(B) P \psi ; B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}), \psi \in \mathscr{H}\} \) плотно в \( \tilde{\mathscr{H}} \).

Если существует \( \sigma \)-конечная мера \( \mu \), такая что \( \|M(B)\| \leqslant \) \( \leqslant C \mu(B) \), то
\[
M(B)=\int_{B} P(x)_{\mu}(d x) ; \quad B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}),
\]

где \( P(x) \) – измеримая ограниченная функция со значениями в \( \mathfrak{F}(\mathscr{C}) \), называемая плотностью \( \mathbf{M} \) относительно меры \( \mu \) (интеграл сходится в сильной операторной топологии). Если \( \operatorname{dim} \mathscr{H}= \) \( =\infty \), то ортогональное разложение единицы не может иметь плотности относительно какой-либо \( \sigma \)-конечной меры.

Пример. Переполненной системой [21], [6] в \( \mathscr{H} \) называется семейство \( \left\{e_{x} ; x \in \mathscr{Q}\right\} \subset \mathscr{H} \), удовлетворяющее условию
\[
\|\psi\|^{2}=\int_{\mathscr{D}}\left|\left\langle e_{x} \mid \psi\right\rangle\right|^{2} \mu(d x) ; \quad \psi \in \mathscr{H},
\]

где \( \mu \) – некоторая \( \sigma \)-конечная мера на \( \mathscr{B}(\mathscr{X}) \), т. е.
\[
\left.\int_{\mathscr{X}} e_{x}\right\rangle\left\langle e_{x}\right| \mu(d x)=\mathrm{I} .
\]
44

—————————————————————-
0004ru_fizik_book6photo_page-0046.jpg.txt

Частным случаем переполненной системы является полная ортогональная система в \( \mathscr{C} \), однако в общем случае векторы \( e_{x} \) могут быть не ортогональны и линейно зависимы. Всякий вектор \( \psi \in \mathscr{H} \) имеет разложение
\[
\psi=\int_{\mathscr{B}}\left\langle e_{x} \mid \psi\right\rangle e_{x \mu}(d x)
\]

по векторам переполненной системы. Соотношение
\[
M(B)=\int_{B}\left|e_{x}\right\rangle\left\langle e_{x}\right| \mu(d x)
\]

определяет разложение единицы с плотностью \( P(x)=\left|e_{x}\right\rangle\left\langle e_{x}\right| \). Дадим для него явную конструкцию минимального расширения Наймарка (см. [78, гл. 8]). Определим ортогональное разложение единицы Е в \( \tilde{\mathscr{H}}=L^{2}(\mathscr{X}, \mu) \) соотношением
\[
E(B) f(x)=1_{B}(x) f(x) ; x \in \mathscr{X},
\]

где \( 1_{B}(\cdot) \) – индикатор множества \( B \in \mathscr{B}(\mathscr{X}) \). В (1.2), (1.3) следует, что соотношение
\[
(V \psi)(x)=\left\langle e_{x} \mid \psi\right\rangle
\]

задает изометрическое вложение \( \mathscr{H} \) в \( \tilde{\mathscr{H}} \), причем
\[
M(B)=V^{*} E(B) V .
\]

Образ \( V \mathscr{H} \) пространства \( \mathscr{H} \) в \( L^{2}(\mathscr{X}, \mu) \) является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром \( \mathscr{K}(x, y)=\left\langle e_{x} \mid e_{y}\right\rangle \), т. е. проектор \( P \) из \( L^{2}(\mathscr{X}, \mu) \) на \( V \mathscr{H} \) является интегральным оператором с ядром \( \mathscr{K}(x, y) \).