Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Интересный класс безгранично делимых объектов возникает в связи с динамическими полугруппами. Пусть \( \mathscr{6} \) гильбертово пространство, Ф-динамическое отображение в алгебре \( \mathfrak{G}(\mathscr{C}) \), т. е. нормальное вполне положительное отображение, такое что \( \Phi[\mathrm{I}]=\mathrm{I} \). Назовем \( Ф \) безгранично делимым, если для любого \( n=1,2, \ldots \Phi=\left(\Phi_{n}\right)^{n} \), где \( \Phi_{n} \) — динамическое отображение. Если \( \left\{\Phi_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)- динамическая полугруппа, то все отображения \( \Phi_{t} \) безгранично делимы, поскольку \( \Phi_{t}=\left(\Phi_{t / n}\right)^{n} \). С другой стороны, если \( \operatorname{dim} \mathscr{H}<\infty \), то всякое безгранично делимое динамическое отображение имеет вид \( \Phi=\mathscr{E} \cdot e^{\mathscr{L}} \), где \( \mathscr{E}- \) условное ожидание на некоторую подалгебру \( \mathfrak{B} \subset \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \), а \( \mathscr{L} \) вполне диссипативное отображение, оставляющее подалгебру \( \mathfrak{B} \) инвариантной [15]. Отображение \( \mathscr{E} \) играет роль, аналогичную идемпотентному делителю в теории безгранично делимых положительно определенных функций на группах [138]. Если \( \mathscr{E}=I d \), то через \( Ф \) можно провести квантовую динамическую полугруппу. В работе Хадсона и Партасарати [108] было построено вложение непрерывной по норме квантовой динамической полугруппы в пространство Фока, которое может быть истолковано как расширение до марковского квантового случайного процесса в смысле п. 3.2.6 (см. статью Фриджерио в [142]). Для ірростоты ограничимся описанием конструкции работы [108] для полугруппы с инфинитезимальным оператором вида \[ где \( H, L \in \mathcal{F}(\mathscr{C}), H^{*}=H \). где \( \left\{V(t) ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)-семейство унитарных операторов в \( \mathfrak{E}= \) \( =\mathscr{G} \otimes \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), удовлетворяющее уравнению (1.26), а отоб. ражение \( \mathscr{E}_{0}: \mathfrak{B}(\mathfrak{G}) \rightarrow \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) — усреднение по вакуумному состоянию, определяемое формулой для любого оператора плотности \( S \) в \( \mathscr{H} \) и любого \( Y \in \mathscr{B}(\mathfrak{W}) \). Усредняя по вакуумному состоянию и учитывая первое из соотношений вытекающих из (1.6), получаем, что семейство наблюдаемых \( \tilde{\Phi}_{t}[X]=\mathscr{E}_{0}\left[V(t)^{*}(X \otimes \mathrm{I}) V(t)\right] \) в алгебре системы \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) удовлетворяет уравнению Отсюда следует, что \( \tilde{\Phi}_{t}[X]=\exp t \mathscr{L}[X]=\Phi_{t}[X] \). \[ является группой унитарных операторов в \( \mathscr{H}^{*} \otimes \mathscr{H}_{0 .} \). Поскольку \( \mathscr{P}_{t}^{*}(X \otimes \mathrm{I}) \mathscr{S}_{t}=X \otimes \mathrm{I} \), из (2.4) следует, что Построенное расширение имеет прозрачную физическую интерпретацию. Группа операторов временного сдвига \( \left\{\mathscr{P}_{t}\right\} \) описывает динамику квантового шума, который играет роль окружения рассматриваемой системы. Записывая операторы \( V(t) \) в виде хронологически упорядоченной экспоненты (1.25), можно видеть, что они задают эволюцию системы с гамильтонианом \( H \), взаимодействующей с окружением посредством сингулярного гамильтониана Усреднение унитарной эволюции \( \left\{U_{t}\right\} \) по вакуумному состоянию шума и дает динамическую полугруппу в \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \). Аналогичное унитарное расширение имеет место для произвольной квантовой динамической полугруппы с инфинитезимальным оператором (3.2.4) — надо только использовать квантовое стохастическое исчисление с бесконечным набором операторов рождения-уничтожения. С точки зрения статистической механики представляет интерес выяснение точных условий, при которых такая в высшей степени идеализированная динамическая система, как квантовый шум, возникает из более реалистичных физических моделей открытых систем (см. в этой связи работу [52], где обсуждаются приближения слабого взаимодействия и малой плотности). Из формулы (2.4) можно получить представления квантовой динамической полугруппы через решения классических стохастических дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве \( \mathscr{C} \) (см. статью А. С. Холево в [35]). Пусть \( W_{t} \) — стандартный винеровский процесс и \( \left\{V_{t}{ }^{(1)}(W) ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)- случайный процесс со значениями в \( \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \), удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению Тогда где \( \mathbf{M}_{(1)} \)-математическое ожидание, отвечающее распределению винеровского процесса. С другой стороны, пусть \( N_{t}- \) пуассоновский процесс с единичной интенсивностью и \( \left\{V_{t}^{(2)}(N)\right. \); —————————————————————- \( \left.t \in R_{+}\right\} \)удовлетворяет уравнению Тогда где \( \boldsymbol{M}_{(2)} \) — математическое ожидание, отвечающее распределению пуассоновского процесса. Заметим, что решения уравнений (2.7), (2.9) могут быть записаны в виде хронологически-упорядоченных экспонент (мультипликативных стохастических интегралов) Ограничимся выводом представления (2.8). Введем семейство изометрических операторов \( V_{t}^{(1)} \) из \( \mathscr{H} \) в \( \mathfrak{f}=\mathscr{H} \otimes \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), определя емых соотношением Из уравнения (1.26) следует поскольку в силу (2.5) коэффициент при \( d A(t) \) может быть произвольным. Если воспользоваться теперь преобразованием дуальности, то формула (2.4) перейдет в (2.8), а уравнение (1.26) — в уравнение (2.7). Аналогично, вывод представления (2.10) из формулы (2.4) основан на преобразовании \( J^{(\lambda)} \) из п. 2.1 (при \( \lambda=1 \) ) (см. п. 2.4).
|
1 |
Оглавление
|