Интересный класс безгранично делимых объектов возникает в связи с динамическими полугруппами. Пусть \( \mathscr{6} \) гильбертово пространство, Ф-динамическое отображение в алгебре \( \mathfrak{G}(\mathscr{C}) \), т. е. нормальное вполне положительное отображение, такое что \( \Phi[\mathrm{I}]=\mathrm{I} \). Назовем \( Ф \) безгранично делимым, если для любого \( n=1,2, \ldots \Phi=\left(\Phi_{n}\right)^{n} \), где \( \Phi_{n} \) – динамическое отображение. Если \( \left\{\Phi_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)- динамическая полугруппа, то все отображения \( \Phi_{t} \) безгранично делимы, поскольку \( \Phi_{t}=\left(\Phi_{t / n}\right)^{n} \). С другой стороны, если \( \operatorname{dim} \mathscr{H}<\infty \), то всякое безгранично делимое динамическое отображение имеет вид \( \Phi=\mathscr{E} \cdot e^{\mathscr{L}} \), где \( \mathscr{E}- \) условное ожидание на некоторую подалгебру \( \mathfrak{B} \subset \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \), а \( \mathscr{L} \) вполне диссипативное отображение, оставляющее подалгебру \( \mathfrak{B} \) инвариантной [15]. Отображение \( \mathscr{E} \) играет роль, аналогичную идемпотентному делителю в теории безгранично делимых положительно определенных функций на группах [138]. Если \( \mathscr{E}=I d \), то через \( Ф \) можно провести квантовую динамическую полугруппу.

В работе Хадсона и Партасарати [108] было построено вложение непрерывной по норме квантовой динамической полугруппы в пространство Фока, которое может быть истолковано как расширение до марковского квантового случайного процесса в смысле п. 3.2.6 (см. статью Фриджерио в [142]). Для ірростоты ограничимся описанием конструкции работы [108] для полугруппы с инфинитезимальным оператором вида

\[
\mathscr{L}[X]=i[H, X]+L^{*} X L-L^{*} L \circ X,
\]

где \( H, L \in \mathcal{F}(\mathscr{C}), H^{*}=H \).
Предлож ение. Пусть \( \left\{\Phi_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)- квантовая динамическая полугруппа в \( \mathfrak{B}(\mathscr{C}) \) с инфинитезимальным оператором (2.3). Тогда
\[
\Phi_{i}[X]=\mathscr{E}_{0}[V(t) *(X \otimes \mathrm{I}) V(t)], X \in \mathscr{B}(\mathscr{H}),
\]

где \( \left\{V(t) ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)-семейство унитарных операторов в \( \mathfrak{E}= \) \( =\mathscr{G} \otimes \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), удовлетворяющее уравнению (1.26), а отоб. ражение \( \mathscr{E}_{0}: \mathfrak{B}(\mathfrak{G}) \rightarrow \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) – усреднение по вакуумному состоянию, определяемое формулой
\[
\operatorname{Tr} S \mathscr{E}_{0}[Y]=\operatorname{Tr}\left(S \otimes\left|\psi_{0}\right\rangle\left\langle\psi_{0}\right|\right) Y .
\]

для любого оператора плотности \( S \) в \( \mathscr{H} \) и любого \( Y \in \mathscr{B}(\mathfrak{W}) \).
Доказательство. Из уравнения (1.26) и квантовой формулы Ито вытекает квантовое уравнение Ланжевена для \( X(t): \)
\[
\begin{array}{c}
d X(t)=\left[L(t)^{*}, X(t)\right] d A(t)+[X(t), L(t)] d A^{+}(t)+ \\
+\left\{i[H(t), X(t)]+\left(L(t)^{*} X(t) L(t)-L(t)^{*} L(\mathrm{t}) \circ X(t)\right)\right\} d t .
\end{array}
\]

Усредняя по вакуумному состоянию и учитывая первое из соотношений
\[
d A(t) \psi_{0}=0, \quad d \Lambda(t) \psi_{0}=0,
\]

вытекающих из (1.6), получаем, что семейство наблюдаемых \( \tilde{\Phi}_{t}[X]=\mathscr{E}_{0}\left[V(t)^{*}(X \otimes \mathrm{I}) V(t)\right] \) в алгебре системы \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) удовлетворяет уравнению
\[
d \tilde{\Phi}_{t}[X]=\tilde{\Phi}_{t}[\mathscr{L}[X]] d t ; \quad \tilde{\Phi}_{0}[X]=X .
\]

Отсюда следует, что \( \tilde{\Phi}_{t}[X]=\exp t \mathscr{L}[X]=\Phi_{t}[X] \).
Пусть теперь \( \left\{\Psi_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)- соответствующая динамическая полугруппа в пространстве состояний. Из представления (2.4) вытекает конструктивное доказательство теоремы о расширении, сформулированной в п. 3.2.6. Обозначим \( \mathscr{H}_{0}=\Gamma\left(L^{2}(\mathbf{R})\right) \) пространство Фока, ассоциированное с \( L^{2}(\mathbf{R}) \), и пусть \( S_{0}= \) \( =\left|\psi_{0}\right\rangle\left\langle\psi_{0}\right| \), где \( \psi_{0}- \) вакуумный вектор в \( L^{2}(\mathbf{R}) \). В пространстве \( \mathscr{\mathscr { C }} \otimes \mathscr{H}_{0} \) действует группа унитарных операторов временного сдвига \( \left\{\mathscr{F}_{t} ; t \in \mathbf{R}\right\} \), определяемых как в п. 1.4. Поскольку \( \mathscr{H}_{0}= \) \( =\Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{-}\right)\right) \otimes \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), где \( \mathbf{R}_{-}=(-\infty, 0) \), действие основных процессов \( A(t), A^{+}(t), \Lambda(t) ; t \in \mathbf{R}_{+} \); естественно переносится в \( \mathscr{\mathscr { C }} \otimes \mathscr{H}_{0} \). Решение уравнения (1.26) является тогда семейством унитарных операторов \( \left\{V(t) ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)в \( \mathscr{C} \otimes \mathscr{H}_{0} \), удовлетворяющим соотношению коцикла (1.19). Из этого соотношения вытекает, что

\[
U_{t}=\left\{\begin{array}{ll}
\mathscr{T}{ }_{t} V(t), & t \in \mathrm{R}_{+}, \\
V(-t)^{*} \mathscr{P}_{t}, & t \in \mathrm{R}_{-}
\end{array}\right.
\]

является группой унитарных операторов в \( \mathscr{H}^{*} \otimes \mathscr{H}_{0 .} \). Поскольку \( \mathscr{P}_{t}^{*}(X \otimes \mathrm{I}) \mathscr{S}_{t}=X \otimes \mathrm{I} \), из (2.4) следует, что
\[
\Psi_{t}[S]=\operatorname{Tr} \mathscr{\mathscr { C }}_{0} U_{t}\left(S \otimes S_{0}\right) U_{t}^{*}, \quad t \in \mathbf{R}_{+} .
\]

Построенное расширение имеет прозрачную физическую интерпретацию. Группа операторов временного сдвига \( \left\{\mathscr{P}_{t}\right\} \) описывает динамику квантового шума, который играет роль окружения рассматриваемой системы. Записывая операторы \( V(t) \) в виде хронологически упорядоченной экспоненты (1.25), можно видеть, что они задают эволюцию системы с гамильтонианом \( H \), взаимодействующей с окружением посредством сингулярного гамильтониана
\[
H_{\mathrm{Int}}=i\left(L \dot{A}+(t)-L^{*} \dot{A}^{*}(t)\right) .
\]

Усреднение унитарной эволюции \( \left\{U_{t}\right\} \) по вакуумному состоянию шума и дает динамическую полугруппу в \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \).

Аналогичное унитарное расширение имеет место для произвольной квантовой динамической полугруппы с инфинитезимальным оператором (3.2.4) – надо только использовать квантовое стохастическое исчисление с бесконечным набором операторов рождения-уничтожения.

С точки зрения статистической механики представляет интерес выяснение точных условий, при которых такая в высшей степени идеализированная динамическая система, как квантовый шум, возникает из более реалистичных физических моделей открытых систем (см. в этой связи работу [52], где обсуждаются приближения слабого взаимодействия и малой плотности).

Из формулы (2.4) можно получить представления квантовой динамической полугруппы через решения классических стохастических дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве \( \mathscr{C} \) (см. статью А. С. Холево в [35]). Пусть \( W_{t} \) – стандартный винеровский процесс и \( \left\{V_{t}{ }^{(1)}(W) ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\} \)- случайный процесс со значениями в \( \mathfrak{Y}(\mathscr{H}) \), удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению
\[
\begin{array}{c}
d V_{t}^{(1)}(W)=\left[L d W_{t}-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) d t\right] V_{t}^{(1)}(W) ; \\
V_{0}^{(1)}(W)=\mathrm{I} .
\end{array}
\]

Тогда
\[
\Phi_{t}[X]=\mathbf{M}_{(1)} V_{t}^{(1)}(W) * \dot{\Lambda} V_{t}^{(1)}(W),
\]

где \( \mathbf{M}_{(1)} \)-математическое ожидание, отвечающее распределению винеровского процесса. С другой стороны, пусть \( N_{t}- \) пуассоновский процесс с единичной интенсивностью и \( \left\{V_{t}^{(2)}(N)\right. \);
118

—————————————————————-
0004ru_fizik_book6photo_page-0120.jpg.txt

\( \left.t \in R_{+}\right\} \)удовлетворяет уравнению
\[
\begin{array}{c}
d V_{t}^{(2)}(N)=\left[(L-\mathrm{I}) d N_{t}-\left(i H+\frac{1}{2}\left(L^{*} L-\mathrm{I}\right)\right) d t\right] V_{t}^{(2)}(N) ; \\
V_{0}^{(2)}(N)=\mathrm{I} .
\end{array}
\]

Тогда
\[
\Phi_{t}[X]=\mathbf{M}_{(2)} V_{t}^{(2)}(N) * \lambda V_{t}^{(2)}(N),
\]

где \( \boldsymbol{M}_{(2)} \) – математическое ожидание, отвечающее распределению пуассоновского процесса.

Заметим, что решения уравнений (2.7), (2.9) могут быть записаны в виде хронологически-упорядоченных экспонент (мультипликативных стохастических интегралов)

Ограничимся выводом представления (2.8). Введем семейство изометрических операторов \( V_{t}^{(1)} \) из \( \mathscr{H} \) в \( \mathfrak{f}=\mathscr{H} \otimes \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right) \), определя емых соотношением
\[
V_{t}^{(1)} \varphi=V(t)\left(\varphi \otimes \Psi_{0}\right) ; \quad \varphi \in \mathscr{H} .
\]

Из уравнения (1.26) следует
\[
d V_{t}^{(1)}=\left[L d Q(t)-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) d t\right] V_{t}^{(1)},
\]

поскольку в силу (2.5) коэффициент при \( d A(t) \) может быть произвольным. Если воспользоваться теперь преобразованием дуальности, то формула (2.4) перейдет в (2.8), а уравнение (1.26) – в уравнение (2.7). Аналогично, вывод представления (2.10) из формулы (2.4) основан на преобразовании \( J^{(\lambda)} \) из п. 2.1 (при \( \lambda=1 \) ) (см. п. 2.4).