В случае \( G=\mathbf{R} \), как показали Вигнер и Баргманн, всегда можно выбрать \( \omega\left(g_{1}, g_{2}\right)=1 \), так что однопараметрическая группа симметрий определяется унитарным представлением \( \mathbf{R} \) в \( \mathscr{C} \).

Теорем а (Стоун, 1932). Пусть \( t \rightarrow U_{t}, t \in \mathbf{R}- \) сильно непрерывная группа унитарных операторов в \( \mathscr{C} \), так что
\[
U_{t_{1}} U_{t_{2}}=U_{t_{1}+t_{2}} ; t_{1}, t_{2} \in \mathbf{R} .
\]

Тогда существует самосопряженный оператор \( A \) в \( \mathscr{H} \), такой что \( U_{t}=e^{i t A} \). Обратно, для любого самосопряженного оператора \( A \) семейство \( e^{i t} \mathrm{~A}, t \in \mathbf{R} \), образует сильно непрерывную однопараметрическую группу.

Итак, предположив, например, что статистическое описание изолированной квантовой системы инвариантно относительно выбора начала отсчета времени, мы приходим к выводу, что в \( \mathscr{H} \) существует самосопряженный оператор \( H \) такой, что состояние системы в момент времени \( t \) описывается формулой
\[
S_{t}=e^{-i H t} S_{6} e^{i H t} .
\]

Оператор \( H \) называется гамильтонианом (или наблюдаемой энергии) системы. Из (2.4) следует уравнение эволюции (в картине Шрёдингера)
\[
i \frac{d S_{t}}{d t}=\left[H, S_{t}\right] .
\]

Если \( S_{0}=\left|\psi_{0}\right\rangle<\psi_{0} \mid \) – чистое состояние, то \( S_{t}=\left|\psi_{\mathrm{t}}\right\rangle<\psi_{t} \mid \), где \( \left\{\psi_{t}\right\} \) – семейство векторов в \( \mathscr{H} \), удовлетворяющее уравнению IIIрёдингера
\[
i \frac{d \psi_{t}}{d t}=H \psi_{t} .
\]

Как правило, \( H \rightarrow \) неограниченный оператор (полуограниченный снизу), так что в соотношениях (2.5), (2.6) следует позаботиться об областях определения.
Уравнение эволюции в картине Гейзенберга имеет вид
\[
X_{t}=e^{i H t} \ddot{A}_{0} e^{-i H t} ; i \frac{d X_{t}}{d t}=\left[X_{t}, H\right] .
\]

Аналогично, из предположения о пространственной однородности вытекает существование самосопряженного оператора \( P \), такого что состояние квантовой системы в системе отсчета, сдвинутой на расстояние \( x \) вдоль данной координатной оси, определяется уравнением
\[
S_{x}=e^{-i P x} S_{0} e^{i P x} .
\]

Оператор \( P \) называется оператором импульса вдоль этой оси. Вообще, всякой однопараметрической группе симметрий геометрического или кинематического характера отвечает самосопряженный олератор, порождающий по формулам типа (2.4), (2.7) преобразования квантовых состояний.