Рассмотрим сначала ситуацию, соответствующую одномерной центральной предельной теореме в теории вероятностей. Пусть \( S \) – фиксированное состояние. Вещественные наблюдаемые \( X_{1}, \ldots, X_{n}, \ldots \) называются независимыми, если
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{E}_{s}\left(\varphi_{1}\left(X_{i_{1}}\right)^{\cdot} \ldots \varphi_{m}\left(X_{j_{m}}\right)\right)= \\
=\mathbf{E}_{s}\left(\varphi_{1}\left(X_{i_{1}}\right)\right)^{\cdot} \ldots \mathbf{E}_{s}\left(\varphi_{m}\left(X_{j_{m}}\right)\right)
\end{array}
\]

для любых \( m=1,2, \ldots \), любых ограниченных борелевских функций \( \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m} \) и любых номеров \( \dot{j}_{1}, \ldots, \dot{j}_{m} \), таких что \( \dot{j}_{k}
eq i_{l} \) при \( k
eq l \). Предполагается, что \( X_{j} \) одинаково распределены и имеют второй момент, причем \( \mathbf{E}_{s}\left(X_{j}\right)=0, \mathbf{D}_{s}\left(X_{j}\right)=1 \). Что можно сказать о предельном распределении нормированных сумм
\[
S_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{j=1}^{n} \ddot{X}_{j} \text { ? }
\]

Если \( X_{1}, \ldots, X_{n}, \ldots \) – попарно перестановочны, то
\[
\exp \text { it }\left(X_{1}+\ldots+X_{n}\right)=\exp \text { it } X_{1} \ldots \exp \text { it } X_{n} ; t \in \mathbf{R} \text {, }
\]

и применение характеристических функций сводит вопрос к классической центральной предельной теореме, со стандартным нормальным распределением в качестве предельного. В обцем случае (3.3) не выполняется и предельное поведение сумм существенно зависит от алгебраических свойств последовательности слагаемых. Пусть, например, \( X_{1}, \ldots, X_{n}, \ldots \) – антипере становочны в том смысле, что
\[
X_{j} X_{k}=-X_{k} X_{j} \text { при } j
eq k .
\]

Тогда прямой подсчет (в предположении конечности 4-го момента \( X_{i} \) ) показывает, что
\[
\mathbf{E}_{s}\left(S_{n}{ }^{4}\right)-\left(\mathbf{E}_{s}\left(S_{n}{ }^{2}\right)\right)^{2} \rightarrow 0,
\]

откуда следует, что \( S_{n}{ }^{2} \rightarrow 1 \) по вероятности. Поскольку \( \mathbf{E}_{\boldsymbol{s}}\left(S_{n}\right)= \) \( =0 \), то распределение \( S_{n} \) стремится к симметричному распределению Бернулли, сосредоточенному в точках \( \pm 1^{11} \). Это согласуется с наблюдением, что распределение Бернулли устойчиво относительно сложения антиперестановочных наблюдаемых (п. 1.6).

Богатство новых возможностей, открывающихся в некоммутативной теории, демонстрируют понятие свободной независимо-
1) Это рассуждение сообщено автору В. фон Вальденфельсом.
3*

СТи и соатветствующая предельная теорема, открытые Войку. леску \( [162] \) (см, также Шпайхер [151]). Вещественные наблюдаемые \( X_{1}, X_{n} \). называются свободно независимыми, если , соотноцения (3.2) выполняются для всех номеров \( j_{1}, \ldots, j_{m} \), таких что \( j_{k}
eq j_{k+1}, k=1, \ldots, m-1 \).

Теорема. Пусть \( X_{j} \) – свободно \”независимые наблюдаемые, \( \left\|X_{j}\right\| \leqslant c ; j=1, \ldots, n, \ldots \). Пусть \( X_{j} \) одинаково распределены и \( \mathbf{E}_{\varepsilon}\left(X_{j}\right)=0, \mathbf{D}_{s}\left(X_{j}\right)=1 / 4 \). Тогда распределение нормированных сумм \( S_{n} \) сходится при \( n \rightarrow \infty \) к полукруговому закону Вигнера с Плотностью
\[
p(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{2}{\pi} \sqrt{1-x^{2}}, & |x| \leqslant 1, \\
0, & |x|>1,
\end{array}\right.
\]

Доказательство этой теоремы методом моментов требует довольно сложных комбинаторных подсчетов. Другой метод доказательства – использование преобразования Коши, которое играет роль логарифма характеристической функции для сво’бодно независимых’ величин [163].

При переходе к многомерной предельной теореме возникает принципиально новая ситуация, обусловленная возможностью различных алгебраических соотношений между компонентами каждого из слагаемых. В работе Кашена, Хадсона [77] (соответственно, Хадсона [106]) предполагается, что компоненты слагаемых подчинены каноническим коммутационным (антикоммутационным) соотношениям и доказывается, что состояния, описывающие нормированную сумму, сходятся к квазисвободному состоянию канонических коммутационных (антикоммутационных) соотношений, т. е. к квантовому гауссовскому (бернуллиевскому) состоянию. При этом в случае антикоммутационных соотношений вместо обычного тензорного произведения алгебр, порожденных компонентами каждого слагаемого, необходимо использовать так называемое градуированное тензорное произведение, обобщающее понятие антиперестановочности. Более интересны результаты работ Гири, фон Вальденфельса [90] и Вальденфельса [164], в которых показано, что квазисвободное состояние на алгебре канонических коммутационных (соответственно, антикоммутационных) соотношений возникает в квантовой центральной предельной теореме без априорных предположений об алгебраической природе слагаемых, а лишь в зависимости от выбора обычного (или градуированного) тензорного произведения. Однако метод доказательства в этих работах, основанный на вычислении моментов, предполагает ограничительное в аналитическом плане условие существование моментов всех порядков.

В ряде работ рассматривался случай слабо зависимых наблюдаемых. М.Ш. Гольдштейн доказал сходимость к нормальному распределению в случае последовательности вещественных наблюдаемых \( X_{1}, \ldots, X_{n}, \ldots \) удовлетворяющей …условиям сла-

бой зависимости и асимптотической перестановочности типа условия Розенблатта (см. обзор В. В. Аншелевича и М. Ш. Гольдштейна в сборнике [34] и книгу Т. А. Сарымсакова [31]) : Обобщение результатов фон Вальденфельса об асимптотической квазисвободности на случай слабо зависимых слагаемых даны в работе Аккарди и Баха [53] (алгебру \( \mathfrak{B} \) в этой работе следует считать коммутативной) Наиболее полный результат для слабо зависимых (перестановочных) слагаемых получен Годерисом; Вербером, Ветсом [92]. Следует отметить, \”что\” истоком работ [90], [92] послужили извеетные работы Хеппа и Либа о флуктуациях в мазере Дикке, которые дают некоторую физическую мотивацию квантовой центральной предельной теоремы для переетановочных слагаемых.

Различные алгебраические обобщения центральной предель ной теоремы (связанные, в частности, с понятием безграничной. делимости) рассматривались также Хегерфельдтом [97], Партасарати и Шмидтом [138], Фаннесом и Куагебером (статья в сборнике [142]).