В гильбертовом пространстве \( \mathscr{H} \) наблюдаемой квантовой системы заданы операторы плотности \( S_{\theta} \); \( \theta=1, \ldots, m \), описывающие одно из возможных состояний системы. Выбор одной из гипотез \( \theta=1, \ldots, m \) осуществляется на основе решающего правила, задаваемого разложением единицы \( \mathbf{M}=\left\{M_{1}, \ldots, M_{m}\right\} \). При этом вероятность принятия гипотезы \( u= \) \( =1, \ldots, m \), если система находится в состоянии \( S_{\theta} \), равна
\[
\mu_{\theta}^{M}(u)=\operatorname{Tr} S_{\theta} M_{u} .
\]

Қак и в классической статистике, задается некоторый функционал от вероятностей (2.1) и вопрос состоит в нахождении экстремума этого функционала в том или ином классе решающих правил. В физических задачах квантовая система является носителем информации, состояния которого \( S_{\text {в }} \) зависят от «передаваемого сигнала» \( \theta \). «Приемник» осуществляет квантовое измерение, статистика которого описывается разложением единицы \( \mathbf{M} \) в \( \mathscr{C} \). Речь идет об отыскании квантовых ограничений на качество измерения и о его оптимизации.

При байесовском подходе задаются априорные вероятности гипотез \( \pi_{\theta} \) и функция отклонения \( W_{\theta}(u) ; \theta, u=1, \ldots, m \). Байесовский риск определяется обычной формулой
\[
\mathscr{R}\{\boldsymbol{M}\}=\sum_{\theta=1}^{m} \pi_{\theta} \sum_{u=1}^{m} W_{\theta}(u) \mu_{\theta}^{M}(u) .
\]

Решающее правило, минимизирующее \( \mathscr{R}\{\boldsymbol{M}\} \), называется байесовским. Часто рассматривают случай \( W_{\theta}(u)=1-\delta_{\theta u} \) и \( \pi_{\theta}= \) \( =1 / \mathrm{m} \). Тогда речь идет о максимизации средней вероятности правильного решения

\[
\mathscr{P}\{\mathbf{M}\}=\frac{1}{m} \sum_{\theta=1}^{m} \mu_{\theta}^{M}(\theta),
\]

что является дискретным аналогом метода максимального правдоподобия. Наконец, важной мерой качества решающего правила является шенноновская информацня
\[
\mathscr{I}\{\mathbf{M}\}=\sum_{\theta=1}^{m} \pi_{\theta} \sum_{u=1}^{m} \mu_{\theta}^{M}(u) \ln \frac{\mu_{\theta}^{M}(u)}{\sum_{\lambda=1}^{m} \pi_{\lambda} \mu_{\lambda}^{M}(u)} .
\]

Первоначальная постановка квантовой задачи различения гипотез (Хелстром, 1967) основывалась на стандартном квантово-механическом формализме, в соответствии с которым решающие правила описывались ортогональными разложениями единицы. Формулировка квантовой теории статистических решений, основанная на обобщенных наблюдаемых, была предложена А. С. Холево (1972). Обозначим \( \mathfrak{M} \) класс всех решающих правил \( \mathbf{M}=\left\{M_{1}, \ldots, M_{m}\right\}, \mathfrak{R}_{1} \) – класс классически-рандомизированных правил (т. е. таких, что \( M_{j} M_{k}=M_{k} M_{j} \) ) и \( \mathfrak{M}_{0} \) класс детерминированных решающих правил \( \left(M_{j} M_{k}=\delta_{j k} M_{j}\right) \).

Пример ([38]). Рассмотрим задачу различения равновероятных гипотез
\[
S_{\theta}=\left|\psi\left(\mathbf{e}_{\theta}\right)\right\rangle\left\langle\psi\left(\mathbf{e}_{\theta}\right)\right| ; \quad \theta=1,2,3,
\]

где \( \psi\left(\mathrm{e}_{\theta}\right) \) – векторы состояний системы со спином \( 1 / 2 \), возникающие в (1.9). Тогда
\[
\max _{\mathcal{M}_{i_{0}}} \mathscr{P}\{\boldsymbol{M}\}=\max _{\mathcal{M}_{1}} \mathscr{P}\{\boldsymbol{M}\}=\frac{1}{6}(2+\sqrt{3})<\frac{2}{3}=\max _{\mathfrak{M}} \mathscr{P}\{\boldsymbol{M}\},
\]

причем максимум достигается на решающем правиле (1.9). Более того,

Этот и другие подобные примеры (см. [80]) демонстрируют неожиданный с классической точки зрения факт: квантовая рандомизация может увеличивать информацию о состоянии системы. Хотя этот эффект проявляется только в конечномерных гильбертовых пространствах (см. предыдущий пункт), он ясно указывает на необходимость использования обобщенных наблюдаемых.