Так называются отображения $\mathcal{E}:\mathfrak{B}(\mathcal{H})\to \mathfrak{B}(\mathcal{H})$, являющиеся идемпотентами $({\mathcal{E}}^2=\mathcal{E})$ с единичной нормой. $\mathcal{E}$ отображает $\mathfrak{B}(\mathcal{H})$ на $C^{\ast }$-подалгебру $\mathfrak{A}=$ $\{X:X\in \mathcal{Y}(\mathcal{H}),\mathcal{E}[X]=X\}$. Если $\mathcal{E}$ нормально, то $\mathfrak{A}$ — алгебра фон Неймана. Условное ожидание согласовано с состоянием $S$, если $\mathrm{Tr}S\mathcal{E}[X]=\mathrm{Tr}SX;X\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$. Томияма показал, что условное ожидание является положительным отображением и обладает свойством
$$\mathcal{E}(XYZ)=X\mathcal{E}(Y)Z;Y\in \mathcal{Z}(\mathcal{H});X,Z\in \mathcal{A},$$

которое включалось в первоначальное определение, данное Умегаки [158]. На самом деле всякое условное ожидание вполне положительно.

Общий критерий существования нормального условного ожидания в алгебрах фон Неймана дал Такесаки [157]. В случае $\mathfrak{Z}(\mathcal{H})$ этот критерий имеет следующую формулировку. Пусть $S$ — невырожденный оператор плотности, тогда с ним связана модулярная группа автоморфизмов $\mathfrak{B}(\mathcal{H})$
$${\alpha }_t[X]=S^{it}X{S}^{-it};X\in \mathcal{B}(\mathcal{H}),t\in \mathbf{R}.$$

Условное ожидание $\mathcal{E}$ на подалгебру $\mathfrak{A}\subset \mathfrak{B}(\mathcal{H})$, согласованное с состоянием $S$, существует тогда и только тогда, когда $\mathfrak{A}$ инвариантна относительно ${\alpha }_t$. В частности, это выполняется, если $[S,X]=0$ для всех $X\in \mathcal{R}$.

Пример нормального условного ожидания (усреднение по подсистеме составной системы) был дан в п. 1.3.1. Приведем другой важный пример. Пусть $\left\{E_n\right\}$ — ортогональное разложение единицы в $\mathcal{C}$. Тогда
$$\mathcal{E}[X]=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_{n}X{E}_n$$

является нормальным условным ожиданием на подалгебру $\mathfrak{A}$ операторов вида (1.5), согласованным с любым состоянием, оператор плотности которого принадлежит $\mathfrak{A}$. Алгебру $\mathfrak{A}$ можно описать также соотношением $\mathfrak{A}={\{E_n;n=1,2,\dots \}}^{\prime }$, где ${\mathfrak{P}}^{\prime }$ обозначает комм утант подмножества $\mathfrak{R}\subset \mathfrak{B}(\mathcal{H})$, т. е. совокупность всех ограниченных операторов, коммутирующих с операторами из $\mathfrak{R}$.

Обзор результатов об условных ожиданиях в алгебрах фон Неймана имеется в статьях Чеккини в сб. [141] и Петца в сб. [143]. В них же излагается некоторое обобщение понятия условного ожидания, принадлежащее Аккарди и Чеккини.