Так называются отображения \( \mathscr{E}: \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \rightarrow \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \), являющиеся идемпотентами \( \left(\mathscr{E}^{2}=\mathscr{E}\right) \) с единичной нормой. \( \mathscr{E} \) отображает \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \) на \( C^{*} \)-подалгебру \( \mathfrak{A}= \) \( \{X: X \in \mathscr{Y}(\mathscr{H}), \mathscr{E}[X]=X\} \). Если \( \mathscr{E} \) нормально, то \( \mathfrak{A} \) – алгебра фон Неймана. Условное ожидание согласовано с состоянием \( S \), если \( \operatorname{Tr} S \mathscr{E}[X]=\operatorname{Tr} S X ; X \in \mathscr{B}(\mathscr{H}) \). Томияма показал, что условное ожидание является положительным отображением и обладает свойством
\[
\mathscr{E}(X Y Z)=X \mathscr{E}(Y) Z ; \quad Y \in \mathscr{Z}(\mathscr{H}) ; \quad X, Z \in \mathscr{A},
\]

которое включалось в первоначальное определение, данное Умегаки [158]. На самом деле всякое условное ожидание вполне положительно.

Общий критерий существования нормального условного ожидания в алгебрах фон Неймана дал Такесаки [157]. В случае \( \mathfrak{Z}(\mathscr{H}) \) этот критерий имеет следующую формулировку. Пусть \( S \) – невырожденный оператор плотности, тогда с ним связана модулярная группа автоморфизмов \( \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \)
\[
\alpha_{t}[X]=S^{i t} X S^{-i t} ; \quad X \in \mathscr{B}(\mathscr{H}), \quad t \in \mathbf{R} .
\]

Условное ожидание \( \mathscr{E} \) на подалгебру \( \mathfrak{A} \subset \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \), согласованное с состоянием \( S \), существует тогда и только тогда, когда \( \mathfrak{A} \) инвариантна относительно \( \alpha_{t} \). В частности, это выполняется, если \( [S, X]=0 \) для всех \( X \in \mathscr{R} \).

Пример нормального условного ожидания (усреднение по подсистеме составной системы) был дан в п. 1.3.1. Приведем другой важный пример. Пусть \( \left\{E_{n}\right\} \) – ортогональное разложение единицы в \( \mathscr{C} \). Тогда
\[
\mathscr{E}[X]=\sum_{n=1}^{\infty} E_{n} X E_{n}
\]

является нормальным условным ожиданием на подалгебру \( \mathfrak{A} \) операторов вида (1.5), согласованным с любым состоянием, оператор плотности которого принадлежит \( \mathfrak{A} \). Алгебру \( \mathfrak{A} \) можно описать также соотношением \( \mathfrak{A}=\left\{E_{n} ; n=1,2, \ldots\right\}^{\prime} \), где \( \mathfrak{P}^{\prime} \) обозначает комм утант подмножества \( \mathfrak{R} \subset \mathfrak{B}(\mathscr{H}) \), т. е. совокупность всех ограниченных операторов, коммутирующих с операторами из \( \mathfrak{R} \).

Обзор результатов об условных ожиданиях в алгебрах фон Неймана имеется в статьях Чеккини в сб. [141] и Петца в сб. [143]. В них же излагается некоторое обобщение понятия условного ожидания, принадлежащее Аккарди и Чеккини.