С математической точки зрения в проблеме скрытых параметров речь идет о возможности установления соответствий \( S(d \omega) \rightarrow \hat{S}, X(\omega) \rightarrow \hat{X} \) между классическими состояниями, т. е. распределениями вероятностей \( S(d \omega) \) на измеримом «фазовом пространстве» ( \( \Omega, \mathscr{B}(\Omega)) \) и операторами плотности \( \hat{S} \) в гильбертовом пространстве \( \mathscr{G} \) квантовой системы, и между случайными величинами \( X(\omega) \) и наблюдаемыми \( \hat{X} \) в \( \mathscr{H} \), которые воспроизводили бы статистические предсказания квантовой теории и удовлетворяли некоторым физически мотивированным условиям. Такими условиями, естественно возникающими из общего понятия статистической модели (п. 0.2), в первую очередь являются) сохранение функциональной подчиненности в пространстве наблюдаемых, а также выпуклой структуры в множестве состояний Обзор с этой точки зрения основных «доказательств невозможности» скрытых параметров дан в. [45].. Тақ, результаты

Белла [66] и Кошена, Шпеккера [115] равносильны следующему утверждению.

Предложение. Пусть \( \operatorname{dim} \mathscr{H} \geqslant 3 \). Не существует однозначного отображения \( X \rightarrow X(\omega) \) множества наблюдаемых \( \mathfrak{O}(\mathscr{G}) \) в множество случайных величин на каком-либо измеримом пространстве \( \Omega \), удовлетворяющего условию:
1) если \( \hat{X} \rightarrow X(\omega) \), то \( f \circ \bar{X} \rightarrow f(X(\omega)) \) для любой борелевской функции \( f \).

Доказательство. Можно считать, что \( \operatorname{dim} \mathscr{H}<\infty \). Пусть такое отображение существует, тогда из 1) выводятся следующие свойства
2) \( X(\omega) \in \mathrm{Sp} X \) для любого \( \omega \in \Omega \);
3) Если \( \hat{X_{j}} \)-совместимые наблюдаемые и \( \hat{X_{j}} \rightarrow X_{j}(\omega) \), то \( \sum_{j} \hat{X}_{j} \rightarrow \sum_{j} X_{j}(\omega) \).

Фиксируем \( \omega \in \Omega \) и рассмотрим функцию проекторов \( \mu(E)= \) \( =E(\omega) \), где \( E \rightarrow E(\omega) \). Из 2), 3) вытекает, что \( \mu \) является вероПо теореме Глисона \( \mu(\hat{E})=\operatorname{Tr} S E \), где \( \hat{S} \) – оператор плотности, но такая функция не может быть двузначной мерой.

Недостаток аргументации фон Неймана [26] состоит в том, что он требовал выполнения свойства 3) для произвольных, а не только совместимых наблюдаемых \( \boldsymbol{X}_{j} \). Рассуждение с аддитивностью средних значений, которое он привел для обоснования этого требования, по существу, заранее исключает теории со скрытыми параметрами [45], [14].

Приведенное выше доказательство означает невозможность введения скрытых параметров по схеме частичной наблюдаемости, реализуемой, например, в классической статистической механике, где имеется взаимно однозначное соответствие между «макроскопическимн» наблюдаемыми и некоторыми функциями на фазовом пространстве. Однако оно не исключает более сложных конструкций, в которых одна и та же квантовая наблюдаемая \( \mathcal{X} \) может быть измерена множеством разных способов и соответствие \( X(\omega) \rightarrow \bar{X} \), таким образом, не взаимно однозначно. На самом деле в квантовой механике имеется по крайней мере столько различных способов измерения наблюдаемой \( \hat{X} \), сколько есть представлений \( \hat{X}=f \circ \bar{P} \) в виде функций от других наблюдаемых \( \hat{P} \). Если \( \hat{X} \) имеет кратное собственное значение, то заведомо найдутся несовместимые наблюдаемые \( \widehat{P}_{1} \) и \( \widehat{Y}_{2} \) такие, что \( \hat{X}=f_{1} \circ \widehat{Y}_{1}=f_{2} \circ \hat{Y}_{2} \). Требование взаимной однозначности входит тогда в прямое противоречие с квантовым свойством дополнительности \( { }^{1)} \). Отсюда вытекает, что в теориях
1) Если \( \operatorname{dim} \mathscr{C}=2 \), то наблюдаемые с кратным спектром – это постоянные величины; тогда такого противоречия не возникает, и теория со скрытыми параметрамн, удовлетворяющая условиям доказанного предложения, стронтся явным образом [66].

со скрытыми параметрами следует оставить возможность для различных классических представлений одной и той же квантовой наблюдаемой (такого рода теории Дж. Белл назвал кон текстуальными). Аналогичное замечание можно отнести и представление квантовых состояний. А. С. Холево дал явное описание такой формальной конструкции, сохраняющей структуры статистической модели [45], [101].

Предложение. Пусть \( \mathscr{H} \) – гильбертово пространство. Существует измеримое пространство \( \Omega \) и отображения \( X(\omega) \rightarrow \dot{X} \) некоторого множества случайных величин на \( \mathfrak{D}(\mathscr{H}) \) и \( S(d \omega) \rightarrow S \) некоторого множества вероятностных мер на \( \mathfrak{S}(\mathscr{C}) \) такие, что
1) Если \( S_{j}(d \omega) \rightarrow \hat{S}_{j} \) и \( \left\{p_{j}\right\} \)-конечное распределение вероят. ностей, то \( \sum_{j} p_{j} S_{j}(d \omega) \rightarrow \sum_{j} p_{j} \hat{S}_{j} \);
2) Если \( \ddot{X}(\omega) \rightarrow \hat{A} \) и \( f- \) борелевская функция, то \( f(X(\omega)) \rightarrow \) \( \rightarrow f \circ \hat{X} \)
3) Если \( X(\omega) \rightarrow \hat{\lambda}^{\star} \) и \( S(d \omega) \rightarrow \hat{S} \), то
\[
\int_{\Omega} X(\omega) S(d \omega)=\operatorname{Tr} \hat{S} \hat{X}
\]

В случае \( \operatorname{dim} \mathscr{H} \geqslant 3 \) отображения \( X(\omega) \rightarrow \mathcal{X}, S(d \omega) \rightarrow S \) с необходимостью не являются взаимно однозначными. Этот результат показывает, что принцип дополнительности препятствует классическому описанию квантовой статистики лишь при дополнительном требовании взаимной однозначности (неконтекстуальности).