Предисловие

Эту замечательную книгу ждет заслуженный успех. Она не нуждается ни в чьих рекомендациях, но ее автор попросил меня написать несколько слов, а другу не принято отказывать. Вопросам фрактальной геометрии и ее приложений уже посвящено несколько превосходных обзоров умеренного объема, и, если судить по слухам и имеющимся рукописям, нам вскоре предоставится возможность познакомиться с монографическим изложением более широкого круга проблем. Но тем, кто занимается преподаванием, этих обзоров и монографий недостаточно, и насущная потребность в более доступных руководствах общепризнана. Создать такое руководство - задача не из легких, но Енс Федер успешно справился со всеми трудностями. Его подход сочетает в себе стремление древних викингов преодолевать одновременно многие препятствия на своем пути и способность современных норвежцев достигать тонкого равновесия в удовлетворении противоречивых потребностей. Я особенно признателен Енсу Федеру за изложение основных фактов относительно -анализа долговременной зависимости. С выходом его книги научная общественность получает возможность ознакомиться с большим циклом моих работ, бывших до того достоянием лишь узкого круга наиболее близких друзей и знакомых.

Нельзя не упомянуть и о том, что мы все благодарны Енсу за предоставленную без ложной скромности возможность ознакомиться с многими превосходными результатами, полученными его группой. Енс не пытается рассказать все, что знает, но то, что он рассказывает, просто великолепно.Бенуа Мандельброт

От автора

Эта книга выросла из исследований фазовых переходов, агрегации иммуноглобулина и проводившихся в последнее время работ по изучению образования вязких пальцев при вытеснении жидкости в пористых средах. Все эти исследования можно рассматривать как частные случаи общего вопроса: как микроскопическое поведение систем связано с тем, что мы наблюдаем в макроскопическом масштабе? Я считаю, что фракталы, устанавливающие взаимозависимость между геометриями в различных масштабах, существенны для описания и понимания этой связи. Мой друг Торстейн Йоссанг и я на протяжении многих лет пытались постичь взаимосвязь между физикой микроскопического мира и макроскопическими явлениями с помощью экспериментов, теории и численного моделирования. Многим из того, что я знаю, я обязан сотрудничеству с Торстейном. Он также принял участие в конспектировании первых лекций и докладов о фракталах. Однако, по его мнению, монографию о фракталах должен был написать я. Нам с ним вместе выпала также удача работать с многими талантливыми студентами.

В этой книге собраны некоторые из вопросов, показавшихся мне особенно интересными и важными в процессе преподавания и в ходе наших исследований. Многие другие идеи и интересные особенности фракталов читатель найдет в книгах Мандельброта и в быстро растущей журнальной литературе. Я хотел бы принести извинения всем коллегам, чьи работы не упомянуты в настоящей книге. Дело в том, что в мои намерения входило написать введение, которое было бы полезно для тех, кто захочет воспользоваться фракталами в своих исследованиях, а не исчерпывающий обзор.

Интересные явления, возникающие при вытеснении жидкостей в пористых средах, оказались в центре наших исследований, проводимых совместно с акционерным обществом «Норвежская государственная нефтяная компания» («Статойл»), Это сотрудничество поставило перед нами множество вопросов, представляющих практический интерес, которые быстро переросли в вопросы, имеющие фундаментальное значение. Наши исследования и студенты получали щедрую поддержку от VISTA (совместного исследовательского проекта Норвежской академии наук и литературы и фирмы «Статойл»), созданного по инициативе Хенрика Агер-Ханссена.

Д-р Пер Стокке из фирмы «Статойл» поднял много интересных вопросов и попросил составить несколько отчетов о возможных

применениях фракталов в геологии, геохимии и других областях знания, представляющих непосредственный интерес для разведки и разработки нефтяных месторождений. Составление этих отчетов по существу стало началом работы над этой книгой. Обучение студентов приложениям фракталов в значительной мере способствовало осуществлению замысла и поставило передо мной множество новых вопросов.

Аммон Аарони оказывал мне поддержку в работе над этой книгой, и я извлек немало полезного для себя из его многочисленных поучительных замечаний. Ивар Гьевер прочитал предварительный вариант и высказал много тонких соображений и предложений, которые я попытался учесть при дальнейшей работе над книгой. Весьма полезными для меня оказались беседы с Полом Микином. Енс Лоте прокомментировал несколько разделов книги. Кроме того, я обязан ему как своему научному руководителю. Гарри Томасу принадлежат комментарии по поводу моих первых публикаций о фракталах. Летом 1986 г. я посетил Эрлинга Питта из Научно-исследовательского центра имени Томаса Дж. Уотсона фирмы IBM, и он высказал немало предложений, способствовавших улучшению книги. Бенуа Мандельброт прочитал тем же летом предварительные варианты рукописи этой книги, и мы провели с ним немало интересных бесед. С присущим ему юмором и терпением он отметил мои ошибки и заблуждения, высказал ценные замечания и всячески поощрял меня к воплощению замысла. Я признателен ему за поддержку и помощь.

Ян Фройланд внес немалый вклад в анализ статистики высоты волн. Ему удалось получить также многие из приведенных в гл. 13 случайных поверхностей переноса. Многие из студентов, занимавшихся в группе, которую вели Йоссанг и я, также внесли вклад в создание этой книги. Кнут Йорген Молёй проявил изобретательность в постановке экспериментов с вытеснением жидкости в пористых средах. Унни Оксаль провел эксперименты по вытеснению жидкости в микромоделях с контролируемой геометрией. Эйнар Хинриксен выполнил численное моделирование ограниченной диффузией агрегации и высказал много полезных замечаний по поводу рукописи. Финн Богер принял участие в анализе экспериментальных результатов. Он также составил программы, которые «нарисовали» фрактальные ландшафты и облака, представленные на иллюстрациях в этой книге. Лив Фуруберг с помощью численного моделирования воспроизвела процессы перколяции и вычертила многие из иллюстраций к гл. 7.

Большинство иллюстраций к книге выполнила Лив Федер. Она оказывала мне помощь и во многом другом, и без ее поддержки и терпения эта книга вообще не была бы написана.

Предлагаемая вашему вниманию книга, несомненно, может быть усовершенствована. Если у вас появятся какие-нибудь комментарии или предложения, то я буду рад ознакомиться с ними.

Осло, Норвегия Енс Федер