12.2. Фрактальная размерность рек

Как отметил Мандельброт [134], реки удовлетворяют соотношению длины и площади вида (12.2). Здесь мы обсудим некоторые результаты, описанные Хэком [79], хотя на эту тему есть и более ранние, и более поздние работы, Хэк исследовал реки в Вирджинии и Мэриленде. На рис. 12.5 показана площадь бассейна системы рек А выше по течению от некоторой точки. Как показано на том же рисунке, длина измеряется вдоль самого длинного русла до водораздела бассейна. На рис. 12.6 показаны результаты, полученные Хэком. Площади определялись планиметром по топографическим картам, а в некоторых случаях - по данным аэрофотосъемки. Длина рукавов определялась в основном курвиметром по картам и аэрофотографиям вдоль русла с учетом изгибов и поворотов.

Все данные, представленные на рис. 12.6, хорошо описываются прямой линией вида

Хэк также проверил это соотношение, используя 400 аналогичных измерений, проведенных на северо-востоке Соединенных Штатов [112], и получил ту же зависимость (12.4). Итак, можно считать твердо установленным, что на северо-востоке Соединенных Штатов длины рек, отмеренные выше некоторой точки, в среднем пропорциональны площади бассейна (выше той же точки реки), возведенной в степень , независимо от геологических и топографических особенностей местности.

Рис. 12.5. Площадь бассейна А и длина самой протяженной реки выше данного места на русле.

Рис. 12.6. Связь длины реки и площади бассейна [79]. 1-р. Норт-Ривер; 2-р. Ист-Драй-Бранч.

Впрочем, проанализировал также два района на западе Соединенных Штатов и нашел, что для них Таким образом, соотношение (12.4) не носит всеобщего характера.

Черные кружки на рис. 12.6 показывают два частных случая отклонения от общего соотношения длины и площади. Коэффициент в этом соотношении равен 1,4 (если в качестве единиц используются мили и квадратные мили), но были обнаружены его вариации от 1 до 2,5 со средним значением 2,0, которое достигается, когда русло проходит в песчанике.

Следуя Мандельброту, возникает соблазн сказать, что результат (12.4) указывает на фрактальную размерность рек и их притоков, равную Однако речные системы не самоподобны и рассуждения,

приводящие к соотношению длины и площади вида (12.2), поэтому неприменимы. Отсутствие самоподобия было замечено Хэком, который выразил это наблюдение следующим образом: «Очевидно, что на любой реке с перемещением вниз по течению длина реки должна расти быстрее, чем площадь, охватываемая всеми основными притоками, возведенная в степень 0,6. Существуют протяженные участки русла, на которых в реку не впадает ни один заметный приток. Именно на этих участках длина должна расти быстрее. Это общее наблюдение относится как к коротким, так и к длинным рекам.» Заметим, что для рек, бассейн которых имеет постоянную ширину соотношение длины и площади принимает вид и для таких рек мы получили бы другой стороны, если бы бассейн сохранял форму при подобном увеличении, мы бы получили .

Хэк построил модель системы рек, основанную на методе анализа структуры речных систем, предложенном Хортоном [94]. Хортон классифицирует реки и протоки, приписывая каждому руслу некоторый порядок, так что для рек, не имеющих притоков, порядок русла равен Реки порядка имеют притоки порядка Таким образом можно построить классификацию всех рек бассейна, так что главная река будет иметь наибольший порядок Показатель длины определяется как отношение средней длины рек одного порядка к средней длине рек ближайшего меньшего порядка. Это отношение приблизительно постоянно и не зависит от порядка русла. Поэтому средняя длина реки порядка равна

где средняя длина самых коротких потоков. Показатель ветвления равен отношению числа рек одного порядка к числу рек ближайшего большего порядка:

Показатель ветвления почти не зависит от порядка русла. Отметим, что поскольку имеется только одна река наивысшего порядка.

Поскольку «длина поверхностного стока примерно постоянна для всех потоков» [79], область, с которой сток идет непосредственно в реки второго порядка, должна иметь ту же среднюю ширину что и область прямого стока потоков первого порядка. Поэтому эта площадь растет прямо пропорционально длине. Хэк заключает, что площадь бассейна порядка равна

Ясно, что существование определенной длины поверхностного стока привносит в задачу характерный пространственный масштаб, который несовместим с самоподобием. Пренебрегая этим, мы получаем следующее выражение для порядка

Итак, для бассейна порядка получаем

Хэк рассматривает пример с т.е. Если в соотношении длины и площади учесть член, связанный с поверхностным стоком, то это соотношение перестает быть степенным. Аппроксимировав его степенным законом, Хэк получил значение близкое к наблюдаемому в этой области значению

По сути модель Хэка, которая устанавливает связь показателя ветвления и показателя длины по-видимому, верно описывает наблюдаемое степенное соотношение длины и площади. Однако остается неясным вопрос, как ввести определение фрактальной размерности системы рек. Геометрия потоков и рек несомненно требует дальнейшего исследования.