Глава 8. Фрактальные временные ряды

Многие наблюдения природных процессов приводят к временным зависимостям или рядам измерений. Например, имеются длинные ряды измерений температуры воздуха. В них ясно прослеживаются годичные вариации. Длительное измерение температуры обнаруживает ее беспорядочное поведение как на коротких, так и на длинных временных интервалах. Временные последовательности измерений таких величин, как температура, сток рек, количество осадков или толщина колец деревьев, можно исследовать с помощью метода нормированного размаха, или метода Херста. Такие последовательности измерений характеризуются показателем показателем Херста. При условиях, которые мы подробнее обсудим в гл. 10, запись измерений представляет собой кривую фрактальной размерности

В этой главе мы опишем и обсудим метод анализа временных рядов, предложенный Херстом. Связанная проблема обобщенного броуновского движения рассмотрена в следующей главе. После обсуждения связи между самоподобными и самоаффинными кривыми мы применим метод нормированного размаха для изучения статистики высот морских волн.

8.1. Эмпирический закон Херста и метод нормированного размаха

Всю жизнь Херст занимался изучением Нила и решением задач, связанных с накоплением водных ресурсов. Он открыл новый статистический метод, метод нормированного размаха (метод подробно описанный им в интересной книге «Долговременное накопление: экспериментальное исследование» [97]. В качестве введения в этот метод рассмотрим оз. Альберт - пример, приведенный Херстом. На рис. 8.1 отложены измерения годового стока как функция времени.

Задача заключается в том, чтобы найти оптимальный объем резервуара по заданному набору измерений стока воды из озера. Оптимален тот резервуар, который никогда не переполняется и не пустеет. В течение каждого года такой резервуар принимает приток из озера, в то время как регулируемый объем воды (сток) спускается из водохранилища. Сколько воды должно храниться в водохранилище, чтобы каждый год из него можно было спускать объем воды, равный среднему притоку за этот период?

Рис. 8.1. Годовой сток Альберт (штриховая линия) и накопленное отклонение от среднего стока (сплошная линия). Указан размах

Средний приток за период лет равен

Это среднее должно равняться объему, ежегодно спускаемому из резервуара. Пусть -накопившееся отклонение притока от среднего

Для Альберт эта кривая показана на рис. 8.1. Разность максимального и минимального накопленного притока X назовем размахом Эта величина равна емкости, необходимой для поддержания среднего стока за выбранный период. Для достаточно большого резервуара, который никогда не переполняется и не опустошается, представляет собой разность между максимальным и минимальным количествами воды в резервуаре. Явное выражение для имеет вид

где дискретное время, принимающее целочисленные значения, а - длительность рассматриваемого промежутка времени. Определения этих величин иллюстрирует рис. 8.2.

Ясно, что размах зависит от рассматриваемого периода и мы ожидаем, что растет с Для данных по Альберт в период 1904- 1957 гг., приведенных на рис. 8.1, получаем в то время как для первых 30 лет (рис. 8.3) размах составляет всего лишь

Рис. 8.2. Резервуар с притоком и средним стоком Накопленное

отклонение регулируемого стока от притока равно Размах равен разности максимального и минимального наполнения резервуара.

Херст исследовал многие природные процессы, такие, как сток рек, отложение ила и рост колец деревьев. При этом он использовал безразмерное отношение где стандартное отклонение, т.е. квадратный корень из дисперсии. Используя это безразмерное отношение, можно сравнивать размах для разных явлений.

Рис. 8.3. Накопленное в первые 30 лет отклонение от среднего стока Альберт. Указан размах .

Стандартное отклонение можно оценить по наблюдениям:

Как обнаружил Херст, для многих временных рядов наблюдаемый нормированный размах R/S очень хорошо описывается эмпирическим соотношением

Показатель Херста (сам Херст обозначал его через более или менее симметрично распределен вокруг среднего значения 0,73 со стандартным отклонением, равным примерно 0,09.

Рис. 8.4, взятый из книги Херста, иллюстрирует качество соответствия между эмпирическим законом Херста (8.5) и наблюдениями.

Рис. 8.4. Метод нормированного размаха для различных естественных процессов. По оси абсцисс указана длительность анализируемого периода в горах [97]. Приведены данные для следующих объектов: 1 - сток рек, Рода, ; уровень осадков, ; -кольца деревьев, ; - слоистые отложения Саки,

(см. скан)

Собранные Херстом статистические данные показаны в табл. 8.1, из которой видно, что для многих естественных процессов Это наблюдение Херста вызывает интерес потому, что при отсутствии долговременной статистической зависимости отношение R/S должно быть асимптотически пропорционально если временные ряды связаны со случайными процессами с независимыми значениями и конечной дисперсией: как показано Херстом [96] и Феллером [64], для случайного процесса с независимыми значениями и конечной дисперсией