2.2. Парадокс Шварца с площадью боковой поверхности цилиндра

Измерение площади - процедура, не всегда легко осуществимая на практике. Рассмотрим боковую поверхность цилиндра (радиусом и высотой ), изображенную на рис. 2.4. Ее площадь равна Но если мы попытаемся измерить площадь боковой поверхности этого цилиндра на практике с помощью линеек, то нам придется тем или иным образом триангулировать поверхность, например так, как это показано на рис. 2.4. Разделив поверхность на полос и секторов, как показано на этом рисунке, мы получим оценку площади боковой поверхности цилиндра в виде суммы площадей всех малых треугольников. Разбивая поверхность на все более мелкие треугольники, т. е. устремляя мы ожидаем, что и Но подобный прогноз верен не всегда. Площадь всех треугольников можно записать в виде

Рис. 2.4. Боковая поверхность цилиндра радиусом и высотой равна Поверхность аппроксимируется с помощью триангуляции, как показано на рисунке.

Первые слагаемые здесь соответствуют треугольникам того типа, который на рис. 2.4 обозначен Вторые, те, что с квадратным корнем, соответствуют треугольникам, обозначенным на рис. 2.4 через Нетрудно видеть, что если при то суммарная площадь треугольников стремится к ожидаемому пределу. Но если мы воспользуемся триангуляцией, для которой то обнаружим, что и что в действительности может принимать сколь угодно большие значения. Выбирая мы получаем при Следовательно, когда отдельные треугольники становятся все меньше и меньше, суммарная площадь треугольников неограниченно возрастает. Вместо того чтобы улучшаться, аппроксимация при уменьшении величины треугольников ухудшается. К аналогичным проблемам приводят и многие другие способы триангуляции. Возникающая ситуация известна под названием парадокса Шварца с площадью боковой поверхности цилиндра. Обсуждение парадокса см. в статье Мандельброта [137]. Нетрудно понять, в чем здесь дело. При увеличении отношения аппроксимирующая поверхность, состоящая из треугольников, все сильнее и сильнее складывается в гармошку, и в пределе треугольника типа практически перпендикулярны поверхности цилиндра.

Нам могут возразить, что возникшие трудности связаны с плохим выбором триангуляции. Но как следует выбирать «хорошую» триангуляцию, если нам нужно оценить площадь более сложной или неровной поверхности? Оказывается, что для этого лучше воспользоваться методами, которые изложены в следующем разделе. Методы, о которых идет речь, применимы и в более простом случае классических гладких кривых и поверхностей, и в более сложном случае кривых, поверхностей и объемов «монстров».