6.12. Мультифрактальный рост вязких пальцев

Вязкие пальцы, возникающие при вытеснении сильно вязких жидкостей слабо вязкими жидкостями в пористых средах, порождают фрактальные структуры (см. рис. 4.7), обладающие замечательным сходством с фракталами, возникающими при ОДА (см. рис. 3.3). Недавно было показано, то динамика ОДА и образования вязких пальцев также одинакова. Величина самого длинного пальца и радиус гирации как функции времени совпадают при численном моделировании ОДА и экспериментальных наблюдениях образования вязких пальцев в двумерной пористой среде [124, 125, 154].

В предыдущем разделе мы обсудили мультифрактальную природу гармонической меры для кластеров, возникающих при ОДА. Распределение градиентов давления на поверхности растущей структуры с вязкими пальцами соответствует гармонической мере в ОДА.

Рис. 6.14. Образование вязких пальцев с фрактальной размерностью в двумерной пористой среде, состоящей из стеклянных шариков диаметром насыпанных случайным образом в один слой между двумя пластинами из пластика. Воздух (черный) вытесняет глицерин при капиллярном числе Структура наблюдалась при (время пробоя [125].

Однако эти градиенты давления не доступны экспериментальному наблюдению. Учитывая это, мы ввели новую меру - меру новых точек роста, которая служит многофрактальной характеристикой динамики роста вязких пальцев [154].

На рис. 6.14 показана структура с вязкими пальцами, образовавшаяся в эксперименте по вытеснению глицерина воздухом при больших капиллярных числах. Структуры с вязкими пальцами растут главным образом на концах пальцев. Новые поры, в которые проникает воздух за небольшой интервал времени, показаны на рис. 6.15.

В наших экспериментах мы измеряли массу островов роста, изображенных на рис. 6.15. Острова перенумерованы в произвольном порядке индексом где -число узлов, в которых наблюдается рост. Пусть полная масса островов. Введем нормированную массу

Набор характеризует наблюдаемый рост структуры. Это множество приращений основной меры новых точек роста на уровне

Рис. 6.15. Зона активного роста структуры с вязкими пальцами, показанной на рис. 6.14. Интервал времени между двумя структурами, использованными для построения зоны роста, равен 2,8 с, что соответствует относительному приращению времени [125].

разрешения эксперимента. Новую меру не следует путать с гармонической мерой рассмотренной в разд. 6.11 на примере ОДА.

Любая экспериментально наблюдаемая структура с вязкими пальцами является реализацией некоторого стохастического процесса. В любой момент своего роста структура с вязкими пальцами может захватить любой вакантный узел («пору») на периметре структуры. Обозначим узлы на периметре индексом k. Тогда динамика роста вязких пальцев в принципе определяется набором вероятностей того, что следующей окажется захваченной пора на периметре. Набор вероятностей роста есть не что иное, как набор приращений гармонической меры экспериментально наблюдаемой структуры с вязкими пальцами на уровне разрешения эксперимента. При захвате очередной поры мера изменяется, так как изменяется периметр структуры. Рост, происходящий в любом узле, изменяет вероятности роста во всех узлах периметра. Мера новых точек роста выражает интегральный эффект последовательности процессов проникновения в поры, и мы заключаем, что мера лишь косвенно связана с гармонической мерой.

В следующих разделах мы проанализируем эксперименты по образованию вязких пальцев, связывая полученные данные с фрактальной мерой зон активного роста.

Фрактальное множество точек роста. Рассмотрим множество точек на котором мы наблюдали рост, т. е. множество пор, в которые проникла вытесняющая жидкость. Точки этого множества имеют и множество есть граница раздела между старыми точками роста и новыми точками роста. Число точек в множестве равно и увеличивается по мере того, как растет структура с вязкими пальцами. Мы ожидаем, что для фрактальной структуры удовлетворяет соотношению

Здесь -размерность растущей поверхности раздела, -размер клетки того покрытия, посредством которого производится анализ структуры, и радиус гирации. Мы могли бы воспользоваться вместо радиуса гирации длиной самого большого пальца, так как с точностью до ошибки эксперимента эти величины пропорциональны. Соотношение (6.66) показывает, что с увеличением размеров растущей структуры с вязкими пальцами возрастает, а с уменьшением размера 5 ячейки, т. е. с уменьшением разрешения, с которым анализируется множество точек число убывает.

Мы подсчитали для трех последовательностей структур в наших экспериментах. На рис. 6.16 приведен график зависимости от соответствующего радиуса гирации в дважды логарифмическом масштабе. Проводя прямые, наименее уклоняющиеся от экспериментальных точек, находим, что множество точек - фрактал с размерностью

Рис. 6.16. Число точек роста как функция радиуса гирации по трем экспериментам с вытеснением глицерина. Прямые получены в результате подгонки соотношений (6.66) по экспериментальным точкам. Значения подгоночных параметров: Фрактальная размерность растущей поверхности

и амплитудой . Граница между старыми и новыми точками роста - это фрактальная пыль на плоскости, имеющая фрактальную размерность 1.

Размерность по подсчету клеток множества точек при заданном радиусе гирации получается путем варьирования величины клетки 5. Подгоняя соотношение (6.66) к данным, полученным при подсчете клеток, получаем оценку для фрактальной размерности границы между старыми и новыми точками роста: Некоторая неопределенность этой оценки связана с тем, что наблюдаемое множество точек представляет собой лишь конечную выборку из основной фрактальной меры. Разумеется, для любого конечного множества точек Это соответствует размерности, равной нулю. Переход к обусловлен конечным разрешением экспериментальных наблюдений.

Микин и Уигтен [157] и Микин и др. [158] исследовали растущую границу между старыми и новыми точками роста, численно моделируя ОДА, и нашли, что возрастает как где масса кластера. Из этого результата следует, что размерность так как где есть фрактальная размерность кластеров, возникающих при ОДА. Микин и Уигтен определили число частиц соприкасающихся с начальным кластером, состоящим из частиц, после того как к нему добавилось К частиц. Эти авторы обнаружили, что при число стремится к некоторому пределу. Таким образом, зависит только от структуры кластера и не зависит от К в пределе больших К.

Нам удалось достичь удовлетворительного согласия между экспериментом и численным моделированием, и мы пришли к заключению,

что и эксперименты, и численное моделирование дают в качестве фрактальной размерности границы между старыми и новыми точками роста.

Кривая До сих пор мы рассматривали только множество точек с Выделим теперь подмножество состоящее из всех точек роста, для которых Если задать меру масштабно-инвариантным образом, то окажется, что такие подмножества являются фрактальными. Имея это в виду, мы зададим подмножества точек роста с помощью показателя Липшица - Гёльдера а, определив его соотношением (6.19):

Это соотношение по существу представляет собой определение показателя а:

Разумеется, в определении показателя а мы с тем же успехом вместо могли бы использовать длину наибольшего вязкого пальца. Такая замена повлекла бы за собой небольшой сдвиг в значениях а, не существенный для больших кластеров.

Выберем показатель Липшица - Гёльдера в интервале от а до а Из соотношения (6.68) находим соответствующий интервал для -структуры с вязкими пальцами и радиусом гирации наблюдаемой при разрешении 5. Множество точек роста, образующих островки, которые и порождают в соответствующем интервале, есть множество Множество всех точек роста можно представить в виде объединения всех таких множеств:

Если фрактальное множество, то мы полагаем, что число точек в этом множестве удовлетворяет скейлинговому соотношению, аналогичному соотношению (6.66):

Число точек в множестве пропорционально ширине интервала поэтому мы ввели плотность не зависящую от этого интервала. В этой связи хотелось бы еще раз подчеркнуть, что конечные множества точек (а при обработке экспериментальных результатов мы с необходимостью рассматриваем конечные множества) представляют собой лишь выборки из фрактальных множеств которые определены только в

асимптотическом пределе бесконечных систем или бесконечного разрешения.

Соотношение (6.71) в принципе может быть использовано для определения фрактальной размерности множества-носителя значений меры, характеризуемых показателем а так же, как при определении фрактальной размерности точек роста в предыдущем разделе. К сожалению, оказалось, что наши модели слишком малы и это исключает возможность применения прямого подхода. Тем не менее мы можем получить оценку кривой используя измеренные значения Прежде всего заметим, что максимальное значение можно найти, используя для общего числа точек роста следующее выражение:

Из соотношений (6.66) и (6.71) получаем

Соотношение (6.73) справедливо при изменяющихся в довольно широких пределах, если подынтегральное выражение имеет резкий максимум при некотором значении Если это так, то мы можем вычислить интеграл методом перевала и получить, что

Амплитуда а зависит от вида функциональных зависимостей и ее нельзя определить в общем виде. Заметим также, что, поскольку подмножества множества точек роста, справедливо соотношение

которое согласуется с равенством (6.74).

Чтобы получить кривую воспользуемся наблюденными значениями построим гистограмму плотности и график зависимости

от параметра а, определяемого соотношением (6.69). Параметр соответствует масштабно-независимой части интеграла соотношения (6.73) и выбран так, что максимальное значение кривой равно и достигается при Результат такого анализа для трех независимых экспериментов представлен на рис. 6.17. Заметим также, что в принципе может сильно зависеть от а. Следовательно, использование параметра вместо в соотношении (6.76) при анализе экспериментальных данных означает, что мы получаем эффективный показатель Чтобы получить вид функциональной зависимости необходимы эксперименты с высоким разрешением.

Рис. 6.17. Кривая для фрактальной меры нового роста, описывающая динамику образования вязких пальцев в пористых моделях. Черные и светлые кружки соответствуют структурам с и 80 клеткам. Кривая получена по кривой

Момент меры. Фрактальную меру, определенную на точках роста, можно проанализировать на основе моментов наблюденной меры определяемых соотношением

При мы находим, что число равно полному числу островов в зоне роста. Из соотношений (6.66) и (6.77) заключаем, что

Показатель массы мы находим, подгоняя кривую (6.77) к экспериментальным данным, а показатели определяем из соотношений (6.48). Это преобразование позволяет нам перейти от усредненной кривой к кривой (рис. 6.17).

Большие значения а соответствуют малым значениям . В своих экспериментах мы обнаружили, что определить очень малые значения чрезвычайно трудно из-за конечного разрешения. Это ограничивает точность наших результатов при больших значениях а. В прямом анализе, которому мы посвятили предыдущий раздел, и в изложенном выше анализе на основе показателя использован один и тот же набор наблюдений для трех различных экспериментов и 13 различных наблюдений зоны роста. Рассеяние точек, обнаруженное при прямом анализе, дает лучшее представление ограниченного разрешения при экспериментальных наблюдениях, чем гладкая усредненная кривая, определяемая по показателю массы Заметим, что в обоих случаях мы использовали для определения неизвестных амплитуд скейлинговые свойства Это снижает максимум кривой до 1.

Подчеркнем, что гармоническая мера Мн отлична от меры множества новых точек роста соответствующих наблюдаемому росту.

Периметр кластеров, образующихся при ОДА, пропорционален их массе. Все узлы, принадлежащие периметру таких кластеров, имеют ненулевую вероятность попадания в них частицы, совершающей случайное блуждание, т.е. являются носителями гармонической меры. Следовательно, можно ожидать, что принимает максимальное значение 1,71 при значении а, соответствующем . В противоположность этому носителем меры множества новых точек роста, как следует из самого названия, являются новые точки роста Это множество узлов представляет собой фрактальное множество с размерностью Следовательно, можно ожидать, что максимум функции равен Оценки меры полученные Амитрано и др. [7] с помощью численного моделирования, дают что близко к фрактальной размерности 1,7 кластеров, образующихся при ОДА.