Глава 14. Исследования фрактальных поверхностей

В последние годы было опубликовано много исследований фрактальной структуры поверхностей. Фрактальным объявлялось все - от молекулярных поверхностей белков до взлетных полос аэродромов. Эти исследования применяют весь спектр методов химии и физики. Вообще говоря, наблюдаемое фрактальное поведение не охватывает широких (в несколько порядков величины) диапазонов пространственных масштабов, и можно сомневаться в надежности найденных оценок фрактальной размерности. Тем не менее проанализирован очень интересный ряд наблюдений, и здесь мы обсудим некоторые новые результаты.

14.1. Наблюдаемая топография поверхностей

Сейлс и Томас [193] измерили и проанализировали шероховатость поверхностей разнообразных объектов - от обшивки супертанкеров и бетонных взлетных полос до поверхностей суставов и шлифованных металлических поверхностей.

Высота поверхности измерялась в различкых точках вдоль некоторого направления. Имея большое число измерений по всему имеющемуся участку поверхности, можно рассчитать шероховатость поверхности, определяемую дисперсией

Здесь угловые скобки обозначают усреднение по серии измерений (иногда многократных повторных) топографии поверхности. Точка отсчета по вертикали выбирается так, что

Важной мерой статистических свойств поверхности является корреляционная функция, определяемая соотношением

Для стационарных поверхностей корреляционную функцию можно выразить через спектр мощности с помощью преобразования Фурье

(кликните для просмотра скана)

Пространственная частота связана с длиной волны неровностей поверхности X равенством Физические системы имеют конечную протяженность и соответственно минимальную пространственную частоту Следовательно, корреляционную функцию можно переписать в виде

Сейлс и Томас предполагают, что спектр мощности имеет вид

и называют постоянную к «изрезанностью». При таком предположении дисперсия равна

т. е. мы получаем и дисперсия увеличивается с размером поверхности, как и ожидается для гауссовых случайных процессов.

На рис. 14.1 воспроизведены результаты этой работы. Величина отложена как функция Если справедливо равенство (14.1), то мы ожидаем, что этот график должен иметь вид прямой линии с наклоном 2. Сейлс и Томас получили удивительную сходимость результатов для 23 типов поверхностей, которые охватывают 8 декад по длине волны. Эти авторы полагают, что величина к однозначно определяет статистические геометрические свойства случайных компонент изотропной поверхности для этого диапазона длин волн!

Следует, однако, заметить, что аппроксимация наблюдаемой спектральной плотности зависимостью (14.1) определяет к и при выбранной нормировке эта зависимость принимает вид Как отмечается в работе [21], это равносильно такому преобразованию исходных данных, состоящих из 23 коротких отрезков разного наклона и разбросанных по всей плоскости двойного логарифмического графика, при котором отдельные отрезки смещаются вдоль вертикальной оси у так, что они максимально приближаются к линии При указанной процедуре аппроксимация будет выглядеть тем лучше, чем шире диапазон исходных данных.

Берри и Ханни [21] замечают, что статистически изотропные поверхности, на которых не выделен какой-либо масштаб и уровень которых хорошо определен, но недифференцируем, действительно могут иметь спектр фрактального вида:

Как показано Мандельбротом [134, с. 353], показатель равен фрактальной коразмерности и следующим образом выражается через фрактальную размерность поверхности

Для броуновских поверхностей, т. е. в случае обычной гауссовой статистики, получается равенство (14.1), использованное Сейлсом и Томасом, поскольку для таких поверхностей

Рис. 14.2. Гистограмма значений показателя а для 23 серий измерений, представленных на предыдущем рисунке [193].

Однако для параметра а следует найти значение, обеспечивающее наилучшую аппроксимацию, и оно оказывается заключенным в пределах от 1,07 до 3,03, что соответствует значениям фрактальной размерности от 2 до 3. В ответ на это замечание Сейлс и Томас [194] провели новую аппроксимацию своих данных и построили гистограмму оценок спектрального параметра а, показанную на рис. 14.2. Полученные значения а группируются вокруг гауссова значения 2, но распределены по допустимому диапазону от 1 до 3. Этот результат кажется разумным, поскольку вряд ли можно ожидать, что поверхности шариковых подшипников и взлетных полос имеют одинаковые статистические свойства. Тем не менее Сейлс и Томас получили интересные результаты, и их стоит критически проверить на данных высокого качества.

Фрактальные поверхности разлома. Когда разламывается металлическое тело, образующаяся поверхность разлома шероховата и нерегулярна. Мандельброт и др. [148] исследовали фрактальную структуру таких поверхностей. Они изучали разломы образцов мартенситной стали марки 300. Разломы сначала никелировались, а затем шлифовались параллельно плоскости разлома. В результате появлялись «острова» стали, окруженные никелем; при дальнейшей шлифовке острова росли и сливались друг с другом. Длина «береговой линии», или периметр и площадь А таких островов измерялись с помощью «эталона» длиной

Фрактальные поверхности, подобные поверхностям разлома, должны характеризоваться различными законами подобия в плоскости разлома и поперек нее. Поэтому поверхности разлома могут быть в лучшем случае самоаффинными с локальной фрактальной размерностью. Однако пересечение такой самоаффинной поверхности с плоскостью дает

Рис. 14.3. Соотношение периметра и площади для поверхности разлома мартенситной стали марки 300. Прямой линией показана аппроксимация при

береговые линии, которые несомненно самоподобны и имеют фрактальную размерность Поэтому можно использовать соотношение периметра и площади (12.2), записанное в виде

На рис. 14.3 показаны результаты Мандельброта и др. [148]. Аппроксимация зависимостью (14.3) дает оценку из которой следует, что в заметном диапазоне масштабов поверхность разлома имеет фрактальную размерность Мандельброт и его соавторы проверили оценку фрактальной размерности, проанализировав профили поверхности разлома. Чтобы обнаружить ее профиль, поверхность резрезалась и для измеренных профилей рассчитывалась спектральная плотность По соотношению (14.2) была найдена величина а затем и фрактальная размерность поверхности

которая оказалась в хорошем согласии с ранее полученной оценкой.

В другой серии интересных экспериментов Мандельброт и др. подвергли образцы мартенситной стали марки 300 тепловой обработке при разной температуре. Затем измерялось количество энергии, которую

Рис. 14.4. Связь измеренной фрактальной размерности поверхности разлома и энергии, необходимой для разлома серии образцов мартенситной стали марки 300, закаленных при различных температурах [148].

необходимо вложить, чтобы разрушить образцы, и определялась фрактальная размерность поверхностей разлома. На рис. 14.4 представлены полученные результаты. Ясно видно, что фрактальные размерности, заключенные в пределах примерно линейно зависят от вложенной энергии. Связь этой зависимости с характером металлургических процессов неясна, но после открытия зависимости фрактальной размерности разлома от вложенной энергии по крайней мере наметился подход к исследованию топографии поверхности.