7.3. Самоподобие перколяционных кластеров

Внутренний бесконечный кластер (перколяционный кластер) статистически самоподобен. Рассмотрим перколяционный кластер при показанный на среднем снимке рис. 7.2.

Рис. 7.5. Размеры перколяционного кластера на пороге кластеризации треугольной решетки как функция линейного размера решетки. Угловой коэффициент прямой в дважды логарифмических координатах дает при больших фрактальную размерность

Если разрешение не слишком велико, то все детали оказываются размазанными, но в целом кластер остается подобным себе при большем разрешении. Сохраняется общая структура кластера, например то, что в нем имеются дырки всех

Рис. 7.6. Перколяционные кластеры на треугольной решетке при пороге перколяции

возможных размеров. Такое самоподобие тесно связано с фрактальной структурой внутреннего перколяционного кластера, и ему с помощью ренормировки реального пространства можно придать количественный характер. Суть этой ренормировки лучше всего можно продемонстрировать на примере протекания от узла к узлу на треугольной решетке с

Рассмотрим перколяционный кластер на треугольной решетке с изображенный на рис. 7.6. На треугольной решетке мы легко можем изменять ее масштаб в раза, группируя занятые узлы, т.е. пустые поры, так, как показано на рис. 7.7. Исходная ячейка с узлами заменяется одним новым узлом, который считается свободной порой (занятым узлом), если большинство узлов исходной ячейки занято. Такое преобразование подобия гарантирует, что кластер из двух или трех пустых пор становится пустой порой в более грубой решетке, изображенной на рис. 7.7, б [183, 223].

Результатом такого огрубления является новая решетка с новой концентрацией занятых узлов. Для простого примера, представленного на рис. 7.7, а, вероятность найти блок из трех занятых узлов, как нетрудно заметить, равна так как каждый из узлов заполняется независимо с вероятностью Вероятность найти два занятых узла равна так как существуют три различных расположения пустого узла. Следовательно, новую концентрацию можно представит! в виде [183]

Огрубление полученной решетки можно производить снова и снова. И при каждой итерации новая концентрация занятых узлов выражается через старую соотношением (7.7). На рис. 7.8 мы построили график изменения концентрации вызванного одной итерацией ренормализационной процедуры, как функции от старой ренормировки) концентрации занятых узлов. Заметим, что удовлетворяет итерационному уравнению (7.7), поэтому есть неподвижная точка ренормировки. Если мы начинаем с решетки, для которой то и новая концентрация занятых узлов оказывается меньше исходной. Следовательно, если мы начинаем с большой треугольной решетки и неоднократно применяем ренормализационное преобразование, то в конце концов у нас получается решетка с пустыми узлами. С другой стороны, если мы начинаем с то концентрация возрастает с каждой итерацией, и в конце концов мы получаем грубую решетку, все узлы которой заняты, т. е. «заполнены» пустыми порами. В критической точке (при как нетрудно видеть, ренормировка не изменяет концентрацию занятых узлов, и грубая решетка также находится на пороге протекания. Критическая точка есть неподвижная точка ренормализационного преобразования. Разумеется, кроме нее существуют еще две тривиальные неподвижные точки:

(кликните для просмотра скана)

Рис. 7.8. Изменение концентрации занятых узлов как функция концентрации занятых узлов на треугольной решетке до огрубления решетки в раз.

Действие процедуры ренормировки, схематически показанное на рис. 7.7 для большой треугольной решетки на пороге протекания, представлено на рис. 7.9. Качественно структура расположения занятых узлов, полученная при двукратном применении ренормализационного преобразования (рис. 7.9, б), неотличима от фрагмента исходной решетки. Перколяционный кластер на преобразованной решетке (см. рис. 7.9, в) качественно такой же, как исходный перколяционный кластер. Важно отметить, что скейлинговые преобразования не влияют на вероятность заполнения узла, и, следовательно, система, находившаяся при после ренормализационного преобразования остается на» пороге протекания. По виду решетки невозможно отличить, на каком уровне огрубления, или увеличения, «сделан снимок». Этот аспект самоподобия мы проиллюстрировали с помощью подобно измененного фрагмента решетки, вставленного на то же место в исходной решетке. Из статистического самоподобия следует, что возникающий в результате преобразования перколяционный кластер является равновероятной реализацией процесса, порождающего перколяционные кластеры.

Статистическое самоподобие внутреннего перколяционного кластера можно использовать для получения количественного утверждения о массе кластера. Степенная зависимость (7.5) массы кластера остается в силе и для кластера после преобразования подобия с коэффициентом Но линейный размер преобразованной решетки равен всего лишь следовательно, число узлов должно быть равно Из соотношения (7.5) следует, что массы кластеров при двух масштабах связаны между собой скейлинговым соотношением

Это соотношение выполняется только асимптотически в пределе больших Но оно имеет место при всех значениях масштабного множителя, согласующихся с этим ограничением. Разумеется, справедливо и обратное утверждение о том, что из скейлингового соотношения (7.8) следует степенная зависимость. Так как левая часть соотношения (7.8) не зависит от масса кластера должна быть однородной функцией, и единственно возможной формой для становится степенная зависимость

(кликните для просмотра скана)

Фрактальная геометрия внутреннего перколяционного кластера и статистическое самоподобие взаимосвязаны, и эта взаимосвязь количественно выражается соотношением (7.8).