Глава 6. Мультифрактальные меры

Рассмотрим некоторую «популяцию», состоящую из «особей», распределенных по объему с характерным линейным размером т.е. по объему II. Такой популяцией могут быть, например, народонаселение или сеть метеостанций. Обе популяции неравномерно распределены по поверхности Земли. Пространственное распределение энергии - пример, имеющий непосредственное отношение к трехмерному турбулентному течению. Распределение ошибок в канале связи может служить примером одномерной популяции. В физике мы обычно рассматриваем распределение примесей на поверхности или в объеме. Намагниченность любого магнетика флуктуирует в пространстве. В качестве членов (особей) популяции можно было бы рассматривать локальные магнитные моменты. Многие переменные подвержены флуктуациям. Например, золото встречается в высоких концентрациях лишь в немногих местах, в более низких концентрациях в существенно большем числе мест и в очень низких концентрациях почти повсюду. Важно отметить, что это утверждение остается в силе независимо от линейного масштаба, будь он глобальным, порядка нескольких метров или микроскопическим. С исследованием распределения физических или каких-нибудь других величин на геометрическом носителе связаны мулътифрактальные меры.

Основные понятия, лежащие в основе того, что теперь принято называть мультифракталами, были первоначально введены Мандельбротом [129, 130] при обсуждении турбулентности и впоследствии [134, с. 375] распространены им на многие другие ситуации. Применительно к турбулентности многофрактальный подход был развит Фришем и Паризи [67] и Бенци и др. [19]. Особый интерес к мультифракталам начался с работ Грассбергера [74], Хентшеля и Прокаччи [87]. Аналогичную функцию размерности предложили Бадии и Полити [11].

Анализ экспериментальных результатов и введение функции Фришем и Паризи [67] и Енсеном и др. [101] позволили достичь великолепного согласия между простой теоретической моделью (см. разд. 6.10) и наблюдениями. Эти авторы продемонстрировали полезность использования мультифракталов при описании экспериментальных данных. Аналогичный подход развивали в своих работах Бенсимон и др. [18], Холси и др. [81], Глазьер и др. [72]. Предложенная недавно Фейгенбаумом и др. [63] термодинамическая формулировка

мультифракталов позволяет распространить эти идеи и на модель Изинга. Неаналитичности в обобщенных размерностях мультифрактальных множеств, представляющих физический интерес, могут быть интерпретированы по Катцену и Прокачче [108] как фазовые переходы.

Распределение токов в фрактальной сети резисторов может быть описано с помощью понятий, непосредственно связанных с мультифракталами. См., например, работы де Аркангелиса и др. [45], Раммала и др. [182], Аарони [3] и Блюменфельда и др. [26].

Применительно к ОДА и связанным с ней процессам роста мультифракталы рассматривали Микин и др. [158, 159], Микин [155, 156] и Холси и др. [80]. Ниттман и др. [166] проанализировали образование вязких пальцев в ячейках Хеле-Шоу и обнаружили признаки, свидетельствующие о мультифрактальной структуре вязких пальцев. Молёй и др. [125] исследовали динамику роста вязких пальцев при больших капиллярных числах. Наблюдаемый рост допускает количественное описание с помощью мультифрактальной структуры. Эти результаты мы обсудим в разд. 6.12. Фрактальным агрегатам и их фрактальным мерам посвящен обзор Микина [156].

Идея о том, что фрактальная мера может быть представлена взаимосвязанными фрактальными подмножествами, изменяющимися по степенному закону с различными показателями, открывает новый простор для применений фрактальной геометрии к физическим система»! Исследование мультифракталов представляет собой быстро развивающуюся область физики фракталов. В этой главе мы рассмотрим несколько основных понятий и проиллюстрируем их простыми примерами. В последующих главах обсудим экспериментальные данные, подтверждающие мультифрактальное поведение различных систем.