6.4. Показатель Липшица-Гёльдера a

Показатель не очень удобен, и на практике предпочитают пользоваться показателем Липшица - Гёльдера а (см., например, [134, с. 373]). Особенности меры характеризуются показателем а. Рассмотрим меру, порожденную мультипликативным процессом в поколении. Эта мера - неубывающая функция от с приращениями имеющими при всех среди первых и «знаков» представления числа в виде двоичной дроби, т.е. ровно и нулей. Выберем точку соответствующую заданному значению эта точка принадлежит множеству Мера определена и в точке где Приращение меры между этими двумя точками равно и

где показатель а определяется соотношением

В последующих поколениях мы получаем все новые и новые точки множества У и соотношение (6.18) остается в силе даже в пределе при и Функция удовлетворяющая соотношению (6.18), имеет производную при всех если постоянна при и сингулярна при

Из формул (6.10) и (6.19) при следует, что мера для мультипликативной популяции имеет показатель Липшица-Гёльдера

Это выражение для а остается в силе для всех точек множества У и линейно по Кроме того, а зависит от веса определяющего разбиение отрезка. Для мультипликативной меры с показатель Липшица-Гёльдера а удовлетворяет неравенству амин амакс, где

Между параметрами и а существует взаимно-однозначное соответствие, что позволяет записывать множество как Мера характеризуется множествами У которые в теоретико-множественной сумме составляют единичный интервал :

Мера имеет сингулярности с показателем Липшица - Гёльдера а на фрактальных множествах с фрактальной размерностью Кривая для меры популяции, порожденной мультипликативным процессом с показана на рис. 6.4, б.

Рис. 6.5. Мультифрактальный спектр для одномерных сечений, проведенных через диссипационное поле в полностью развитых турбулентных течениях (турбулентность за решеткой, след за круговым цилиндром, пограничный слой, атмосферная турбулентность). Квадратики соответствуют экспериментальным средним, сплошная кривая -биномиальному мультипликативному процессу с

В работе Менево и Сринивасана [160] показано, что экспериментальные данные по полностью развитой турбулентности очень хорошо описываются только что представленным мультипликативным процессом. Биномиальный мультипликативный процесс с приводит к кривой которая с высокой точностью описывает наблюдаемый мультипликативный спектр поля диссипации (рис. 6.5).