6.10. Мультифрактальная конвекция Рэлея-Бенара

Замечательным примером приложения изложенных выше идей к гидродинамической неустойчивости при тепловой конвекции может служить работа Енсена и др. [101]. Эти авторы исследовали тепловую конвекцию ртути в небольшой ячейке площадью и высотой 0,7 см. Температура дна поддерживалась на уровне т.е. выше температуры верхней поверхности. При этом в ячейке возникала конвекция с образованием двух валов с горизонтальными осями.

При увеличении разности температур выше некоторого критического значения конвективные валы теряли устойчивость и начинали совершать поперечные колебания с частотой Енсен с соавторами возмущали систему, помещая ячейку в горизонтальное магнитное поле и пропуская переменный электрический ток между низом и верхом в центре ячейки. Частота переменного тока составляла Отношение частот есть число вращений и выбрано так, чтобы оно было иррациональным числом - золотым сечением Обоснование именно такого выбора дает теория динамических систем.

В результате возмущения температура, измеряемая термометром вблизи дна ячейки, начинает нерегулярно флуктуировать во времени. Развертка таких флуктуаций представляет собой временной ряд температур где -время, измеряемое в интервалах между наблюдениями. На рис. 6.10 показан график зависимости от построенный по 2500 наблюдениям Расположение экспериментальных точек отражает существование странного аттрактора в фазовом пространстве для движения этой системы.

Рис. 6.10. Экспериментальный аттрактор для тепловой конвекции. Временной ряд температур использован для определения температуры в момент времени т. е. для построения графика зависимости от Построенная кривая соответствует проекции аттрактора движения в фазовом пространстве [101].

Точки на аттракторе, образующие временной ряд, сосредоточены в различных областях фазового пространства с неодинаковой интенсивностью. Некоторые скопления экспериментально наблюдаемых точек на рис. 6.10 обусловлены тем, что являются проекциями истинного аттрактора в фазовом пространстве. Но если мы воспользуемся для представления временного рода трехмерным пространством с координатами то такого рода эффект проекции исчезает и в действительности анализ экспериментальных данных проводится в пространстве.

Енсен с соавторами анализировали экспериментальные данные следующим образом. Выберем на траектории какую-нибудь точку отправляясь от нее, подсчитаем число шагов вдоль временного ряда, которые необходимо совершить прежде, чем текущая точка не окажется от исходной на расстоянии, не превышающем 5. Вероятность попасть в гиперкуб с ребром 5 по оценке есть величина Вычислим по формуле (6.49) меру Не следует, однако, забывать о том, что сумма в формуле (6.49) берется по клеткам, образующим покрытие множества точек, а не по точкам множества. Это легко исправить, так как число точек в ячейке Используя экспериментальные точки, получаем

Мера в соотношении (6.59) вычислена для ячеек величины , которая изменяется на два порядка, и критическая размерность определена по графику соотношения

построенному в дважды логарифмических координатах.

Рис. 6.11. Кривая для тепловой конвекции. Точки заимствованы из наблюденного временного ряда. Показана кривая для критического отображения окружности на себя. Следует подчеркнуть отсутствие свободных параметров и замечательное согласие теории с данными наблюдений [101].

Вычислив критическую размерность, находим по формулам (6.48). Точки, полученные в результате такой обработки экспериментальных данных, представлены на рис. 6.11. Интервалы ошибок для точек авторы оценивали, варьируя диапазон изменения 5, в пределах которого степенной закон (6.60) давал хорошее приближение к наблюдаемым значениям. Общий вид кривой построенной по экспериментальным точкам, аналогичен кривой для двухмасштабного канторовского стержня (рис. 6.8). Заметим, что такой анализ использует больше экспериментальной информации, чем содержится на рис. 6.10, так как явно зависит от последовательности точек на рис. 6.10 во времени.

Поистине замечательно то, что кривая на рис. 6.11 построена не путем подгонки под экспериментальные точки, а вычислена независимо для отображения окружности на себя с числом вращения, равным золотому сечению!

Отображение окружности на себя - это итерационное отображение, переводящее одну точку в какую-то другую точку окружности. Обозначим точки на окружности углами образуемыми радиусами, проведенными в точки, с некоторым выделенным направлением. Начав с произвольной точки образуем последовательность точек с помощью повторного применения отображения:

Это отображение исследовано весьма подробно (см., например, [98-100]). Оно имеет странный аттрактор для критического цикла, возникающего при критическом значении числом вращений Кривая на рис. 6.11 есть кривая для этого отображения окружности на себя.

Данные, представленные на рис. 6.11, показывают, что тепловая конвекция, возмущаемая с числом вращений, равным золотому сечению, и критическое отображение окружности на себя обладают одинаковой фрактальной структурой и поэтому принадлежат к одному и тому же классу универсальности. Кроме того, фрактальная размерность множества есть максимальное значение, найденное для которое дает Этого можно было ожидать, так как носителем меры в рассматриваемом случае является окружность, которая одномерна. Дальнейшие подробности и анализ см. в работе Прокаччи [179].

В заключение заметим, что определение надлежащих вероятностей задача далеко не тривиальная. Действительно, нахождение правильной процедуры определения формулы (6.32) для меры экспериментального множества эквивалентно правильному выбору параметра порядка для фазового перехода. После того как параметр порядка установлен, становится применим весь мощный аппарат теории фазовых переходов Ландау, и критическое поведение можно вычислять с помощью методов ренормгруппы. Но для правильного выбора параметра порядка необходимо глубокое понимание исследуемого явления.