9.8. Последовательные случайные сложения

Р. Ф. Фосс предложил методы построения не только обычной фрактальной броуновской функции, но и фрактальных броуновских поверхностей и объемов. Свой алгоритм он назвал последовательным случайным сложением [214]. Используя для иллюстрации рис. 9.9, опишем этот алгоритм.

Чтобы построить обобщенную броуновскую кривую, высота или вертикальная координата которой описывается законом

Рис. 9.9. Процедура последовательных случайных сложений. Точки, принадлежащие одному и тому же поколению, соединены линиями. Три самых больших кружка соответствуют первому сложению с тремя начальными значениями высоты, равными нулю. Пять меньших кружков получены после интерполяции первых трех значений к промежуточным точкам и прибавления меньших случайных чисел ко всем пяти ординатам. Самыми маленькими кружками отмечены значения высоты в девяти точках следующего поколения.

обобщенного броуновского движения, следует потребовать, чтобы дисперсия приращений координаты подчинялась соотношению

Это просто переписанное соотношение (9.27); здесь -(начальная) дисперсия случайных сложений, к обсуждению которых мы переходим.

Нижеследующий процесс, предложенный Фоссом, приводит к обобщенному броуновскому движению при любом разрешении. Отправная точка - последовательность значений координаты заданных для моментов времени Мы выберем моменты времени и примем исходные значения координаты равными нулю. Затем к значениям координаты прибавляются случайные числа, выбранные из нормального распределения с нулевым средним и единичной дисперсией, Средние значения времени на каждом интервале затем рассматриваются как дополнительные узлы на оси времени; значения координаты в них оцениваются интерполяцией. Итак, теперь выделены моменты времени . И вновь ко всем координатам прибавляются случайные числа с нулевым средним значением и уменьшенной дисперсией

Между пятью новыми значениями координаты вновь проводится интерполяция к серединам временных интервалов, что приводит к 9 значениям координаты в 9 моментов времени. После -кратного применения этого

алгоритма мы получаем значения координаты обобщенной броуновской частицы в моментов времени. Эти значения получены с помощью интерполяции и случайного сложения. Дисперсия слагаемых поколения равна

Рис. 9.10. (см. скан) Фрактальные броуновские кривые, полученные с помощью алгоритма последовательных случайных сложений Фосса при различных значениях показателя Херста Фрактальная размерность этих кривых равна Кривые рассчитывались с разрешением 1/2048.

Как показал Фосс, этот процесс приводит к самоаффинным кривым, фрактальная размерность которых равна

Мы построили такие кривые для различных значений показателя Херста и приводим результаты на рис. 9.10. Все кривые были преобразованы так, чтобы они имели нулевое среднее значение и единичную дисперсию выборки. Случай соответствует обычному броуновскому движению, встречающемуся во многих приложениях. К примеру, шумы усилителей часто полагают заданными кривой с

Персистентное (поддерживающееся) поведение наблюдается при Примером персистентного процесса с является статистика морских волн, обсуждаемая в гл. 11. В этом случае персистентность означает, что если высота волн увеличивалась в течение времени то можно ожидать ее увеличения в течение последующего периода примерно такой же длительности. И наоборот, если высота волн оказывается уменьшающейся в течение времени то следует ожидать ее дальнейшего уменьшения в течение последующего такого же интервала времени. Другими словами, персистентные стохастические процессы обнаруживают довольно четко выраженные тенденции изменения при относительно малом шуме. В общем, когда приходится сталкиваться с проявлениями персистентных стохастических процессов, возникает соблазн поиска периодичностей (см. рис. 9.10).

С другой стороны, при антиперсистентном стохастическом процессе после возрастания переменной обычно происходит ее уменьшение, а после уменьшения-возрастание. Такое поведение характерно для фрактальных броуновских процессов при значении заключенном между и 1/2. Запись антиперсистентного процесса, например кривая с на рис. 9.10, выглядит очень зашумленной. У таких кривых уровень локального шума совпадает по порядку величины с глобальными отклонениями сигнала.

Фосс обобщил алгоритм последовательных случайных сложений на двух- и трехмерные системы. Полученные им фрактальные пейзажи генерируются посредством интерполяции на квадратной сетке и тех же случайных сложений с уменьшающейся дисперсией, которые обсуждались выше. Примеры пейзажей, построенных с помощью алгоритма Фосса, приводятся в гл. 13.

Фосс [214] показал также, что заполненность получаемых фрактальных поверхностей можно контролировать, выбирая коэффициент уменьшения не равным 1/2, так что в поколении сложения проводятся при дисперсии Фоссу удалось генерировать изображения облаков, находя значения концентрации воды в трехмерном пространстве и закрашивая белым те области, в которых с превышает определенную постоянную величину. Полученные им изображения облаков по качеству сравнимы с работами лучших художников. С этой точки зрения облака представляют собой фрактальные объемы в четырехмерном самоаффинном пространстве, состоящем из трех пространственных координат и дополнительного измерения - концентрации воды.