Глава 13. Фрактальные поверхности

Широкому интересу к фракталам, по-видимому, в большой степени способствовали интригующие компьютерные пейзажи. Красивые цветные иллюстрации из последней книги Мандельброта [134], изображающие долины и вид с «Луны» на восходящую «Землю», одинаково поразили воображение ученых и неспециалистов. Уже давнее популярное изложение работ Мандельброта Гарднером [69], вероятно, сильно помогло росту такого интереса - по крайней мере я тогда впервые встретился с этими идеями. Еще более впечатляющие картины с дымкой в долинах, созданные также и Р. Ф. Фоссом, были опубликованы с популярным комментарием в широко известном журнале по микрокомпьютерам [200]. Не вызывает сомнения, что нерегулярность топографии земной поверхности в широком интервале пространственных масштабов служит указанием на то, что с помощью фракталов можно строить полезные модели пейзажей.

Эту главу мы начнем с обсуждения простых фрактальных поверхностей. Затем рассказывается о нашем опыте построения ландшафтов. В следующей главе мы обсудим свежие экспериментальные указания на фрактальную структуру поверхностей.

13.1. Фрактальная поверхность Кох

Простой способ построения явно фрактальной поверхности состоит в параллельном переносе триадной кривой Кох на расстояние вдоль направления, перпендикулярного ее плоскости (рис. 13.1). Чтобы измерить площадь такой поверхности, мы попробуем покрыть ее полосками длины и ширины . При эталоне малой площади нам потребуется

таких ячеек, чтобы покрыть поверхность. Здесь, как и раньше, фрактальная размерность кривой Кох равна Первый множитель в формуле для означает просто, что число ячеек площадью а, необходимых для покрытия каждой полоски, равно а второй множитель - это число отрезков длины , необходимых для покрытия кривой Кох (см. (2.6)).

Рис. 13.1. Триадная поверхность Кох.

Мера определяется выражением

Поскольку мера конечна только при где

из (2.3) следует, что размерность поверхности по Хаусдорфу Безиковичу.

Этот результат - еще одна иллюстрация одного из эмпирических правил Мандельброта для фрактальных множеств [134, с. 365]: если множество У является произведением двух независимых фрактальных множеств то фрактальная размерность У равна сумме фрактальных размерностей множеств

Мы взяли множество точек определяемое триадной кривой Кох в -мерном пространстве (ее размерность и построили множество У умножением на множество которое представляет собой отрезок прямой длиной -мерном пространстве. Таким образом, каждую точку множества мы сопоставили с линией в -мерном пространстве. Полученное множество имеет размерность где есть размерность линии.

Подобным образом можно построить фрактальные поверхности любой размерности в пределах но они не будут реалистичными моделями пейзажей и других нерегулярных поверхностей, которые, как правило, гораздо более изотропны в горизонтальной плоскости, чем результат переноса кривых Кох. Вероятно, такие модели применимы к поверхностям, которые получаются при направленном истирании, шлифовке или полировке.