6.2. Биномиальный мультипликативный процесс

Популяции или распределения, порождаемые мультипликативным процессом, находят многочисленные применения и обладают тем преимуществом, что многие свойства таких распределений легко поддаются анализу. Начнем с одномерного примера. Пусть популяция состоит из членов, распределенных по отрезку прямой Нас будет интересовать предел при Будем считать, что выборка из основного распределения (при конечных Чтобы определить распределение, разделим отрезок У на части (ячейки) длиной Тогда для покрытия этого отрезка У нам понадобятся ячеек. Здесь - число поколений при двоичном разбиении отрезка У. Обозначим ячейки индексом Распределение популяции по отрезку при разрешении 5 характеризуется набором чисел показывающих, сколько членов популяции находится в ячейке. Удобной мерой содержимого ячейки может служить доля числа членов популяции, попавших в ячейку, от полной численности популяции. Набор долей, т.е.

дает полное описание распределения популяции при разрешении 5. Мера части, или подобласти отрезка определяется суммой

В общем случае история на этом и заканчивается: описать распределение членов популяции по отрезку можно единственным способом, а именно задавая при достаточно хорошем разрешении, т. е. при достаточно малом 5. Но если обладает скейлинговым свойством, то относительно распределения можно сказать гораздо больше. Покажем это на простом примере.

Рассмотрим следующий мультипликативный процесс, порождающий меру на единичном отрезке Разделим У сначала на две части равной длины Сопоставим левую часть с долей

популяции и тем самым наделим левую часть мерой На правой части поместим оставшуюся долю и наделим правую часть мерой Увеличим разрешение до Мультипликативный процесс производит разбиение каждой части на две половины (по длине). В результате разбиения мы получаем следующие доли популяции в ячейках:

Следующее поколение мы получаем, производя разбиение каждой ячейки на две новые ячейки. Ячейка, содержащая меру оказывается разделенной на левую подъячейку с мерой и на правую подъячейку с мерой Весь отрезок [0, 1] оказывается при этом разбитым на ячейки длиной и поэтому набор в третьем

Рис. 6.3. Мера для биномиального мультипликативного процесса после поколений с : -мера, или содержание, ячейки как функция номера сегмента (координаты точки) -мера для интервала как функция от

поколении состоит из следующего упорядоченного перечня мер:

При дальнейших итерациях этого процесса получаются все более короткие отрезки, содержащие все меньшую долю полной меры. На рис. 6.3 показаны мера ячейки, расположенной в точке и мера

для области после 11 итераций мультипликативного процесса. Здесь указывает индекс ячейки Мера -скейлинговая в том смысле, что левая половина фигуры на рис. 6.3 получается из всей фигуры и правая половина получается из всей фигуры с помощью соотношений (см. также формулу

Соотношения (6.7) описывают аффинное преобразование функции . С этим понятием мы подробнее познакомимся в гл. 10.

После поколений мы получаем ячеек, перенумерованных последовательно индексом Длина ячейки равна а мера, или доля популяции в ячейке, равна число нулей в двоичной дроби, представляющей число . В этом нетрудно убедиться, если записать индекс ячейки в виде двоичной дроби:

«Знаки», или «цифры», принимают только два возможных значения: или 1. Например, в третьем поколении первой ячейке соответствует двоичная дробь 0,000; ячейке с - дробь 0,001; следующей ячейке - дробь 0,010 и, наконец, последней ячейке с - дробь 0,111. Для записи всех ячеек в поколении необходимы двоичные дроби с знаками после запятой.

На рис. 6.3, а показана мера ячеек, порожденная в поколении мультипликативного процесса с Как видно из рис. 6.3, а, существует одна ячейка с наибольшей мерой ячеек с мерой и т.д. В общем случае при существует

ячеек с мерой

Полная мера отрезков, представляющих популяцию, равна

Ячейки, описывающие распределение популяции, полностью покрывают отрезок и содержат всю меру, т.е. любого члена популяции.