10.1. Стратегия смелой игры

Интересный пример сингулярной самоаффинной функции, связанной с теорией игр, обсуждал Биллингсли [24], популярно изложивший идеи Дьюбинса и Сейвиджа [52]. Для начала рассмотрим такую задачу: игрок приходит в казино с суммой 900 долларов и желанием (или надеждой)

увеличить ее до 1000 долларов. На каждый запуск рулетки он ставит по 1 доллару, причем каждый раз вероятность выиграть 1 доллар равна а вероятность проигрыша 1 доллара равна Стратегия этого игрока состоит в том, чтобы играть либо до увеличения своего состояния до 1000 долларов, либо до разорения. Как мы увидим, эта стратегия, которую я назову робкой игрой, не самая удачная, и гораздо более предпочтительна стратегия смелой игры, определяемая ниже.

При робкой игре вероятность успеха т. е. вероятность достижения цели долларов при начальном капитале долларов равна (см., например, [65])

В нашем случае применимо последнее приближенное равенство, поскольку а - большие числа. Так как размер ставки мал по сравнению с расстоянием до цели, в хорошем приближении можно считать, что капитал игрока увеличивается и уменьшается по закону случайного блуждания. При абсолютно честной игре (равных шансах) это просто процесс несмещенного случайного блуждания и у игрока вполне разумный шанс выиграть: Но ни в одном из существующих казино не ведется абсолютно честная игра. Из 38 полей обычной рулетки 18 полей красные, 18 черные, а -зеленые; поэтому . Для игрока, который ставит на красное, вероятность успешно увеличить свой капитал от 900 до 1000 долларов, ставя по 1 доллару на каждый запуск рулетки, составляет всего лишь 0,00003.

Предположим, что оптимизм игрока настолько велик, что он надеется превратить начальный капитал 100 долларов в сумму 20000 долларов прежде, чем останется без денег. Если его шанс составляет 0,005, но при вероятность такого выигрыша составляет всего лишь Нужно быть отчаянным оптимистом, чтобы в таких условиях надеяться на выигрыш. Шансы добиться успеха совершенно ничтожны. Однако ничто не заставляет игрока ставить только по 1 доллару. Предположим, что он ставит по 10 долларов. Тогда его начальный капитал состоит из 10 десятидолларовых банкнот, а цель заключается в увеличении его до 2000 десятидолларовых банкнот. Это соответствует значениям в соотношении (10.9). Вероятность успеха тогда увеличивается от до примерно Такая стратегия увеличения ставки неизмеримо увеличивает шансы выигрыша, но тем не менее вероятность успеха остается безнадежно мала.

Большие ставки увеличивают вероятность успеха игры. Это и определяет стратегию смелой игры (см., например, «При каждом запуске рулетки игрок ставит все свое состояние, если оно не превышает

половины желаемой суммы, в противном случае его ставка равна разности между желаемой и имеющейся суммами». Смелая игра делает максимальной вероятность достижения цели, именно когда При вероятность разбогатеть до долларов, начав со 100 долларов, равна 0,003. Как видим, такая стратегия много лучше робкой игры, которую мы обсуждали выше.

Для анализа смелой игры удобно перейти к другому масштабу. Пусть состояние игрока заключено между и 1, а желаемая сумма равна 1. Обозначим через вероятность успеха (при смелой игре) при начальном капитале Тогда стратегию смелой игры можно описать следующим образом. Предположим, что состояние игрока заключено в пределах и он ставит сумму Если ему суждено увеличить состояние до 1, то он должен выиграть первую ставку (с вероятностью а затем с новым капиталом продвигаться к окончательному успеху (с вероятностью Произведение и есть вероятность выигрыша первой ставки и дальнейшего успеха. Таким образом, при начале с вероятность достижения цели определяется первым из двух равенств:

Теперь предположим, что игрок начинает игру, имея состояние в пределах так что ставит сумму Он может выиграть уже при первом запуске рулетки (с вероятностью Возможен также первый проигрыш (с вероятностью и тогда дальнейшая игра будет происходить с исходным капиталом (вероятность успеха ).

Рис. 10.3. Пара аффинных преобразований координат описываемых уравнениями (10.10), которые отображают единичный квадрат на прямоугольники. Эта пара преобразований дает самоаффинную кривую показанную здесь при

Поэтому при вероятность достижения цели определяется вторым из пары равенств (10.10).

Эти уравнения совпадают с уравнениями (6.7), описывающими меру мультипликативного процесса, который обсуждался в разд. 6.2. Пример вероятности выигрыша при смелой игре представлен на рис. 6.3 и рис. 10.3 как функция для Эта вероятность (мера) является растущей функцией причем эта функция сингулярна в том смысле, что почти всюду ее наклон равен нулю. Вероятность достижения цели увеличивается только на множестве точек, для которого мера Лебега равна нулю и левая производная равна а правая производная равна нулю (ясное обсуждение можно найти в [24]). Длина кривой равна поэтому это не фрактальная кривая, а фрактальная мера (см. обсуждения в разд. 6.2).

Уравнения (10.10) означают инвариантность меры по отношению к аффинным преобразованиям координат. Эти преобразования имеют вид

и отображают кривую на себя - кривая самоаффинна. Этих преобразований два. Преобразование отображает единичный квадрат в прямоугольник, помеченный буквой на рис. 10.3. Оно просто уменьшает масштаб оси в 2 раза, а масштаб оси у уменьшается множителем -преобразование также укорачивает ось вдвое, но масштаб оси у уменьшается множителем а не Кроме того, -преобразование переносит сжатый единичный квадрат, и в итоге он отображается на прямоугольник, помеченный на рис. 10.3 буквой

Мандельброт [136, 137] обсуждает многие свойства самоаффинных фрактальных кривых, которые генерируются семействами аффинных преобразований. Он вводит класс рекуррентно самоаффинных фрактальных кривых, для которых справедливы соотношения, приведенные в табл. 10.1. Он же обсуждает дополнительные виды размерности, с помощью которых можно описывать самоаффинные фрактальные кривые.