4.4. Образование вязких пальцев и ОДА

Процесс ограниченной диффузией агрегации можно рассматривать как задачу, в которой частицы совершают случайное блуждание до тех пор, пока они не достигают «поверхности» кластера, на которой переходят в состояние покоя. Соответственно поверхность в точке присоединения частицы вырастает на один шаг. В континуальном пределе частицы, совершающие случайное блуждание, описываются уравнением диффузии. Пусть С -концентрация блуждающих частиц. Тогда уравнение диффузии представимо в виде

Коэффициент диффузии в общем случае определяется соотношением Эйнштейна для частиц, перемещающихся на шаг а в случайных направлениях со скоростью

При стационарном подводе блуждающих частиц может быть достигнуто стационарное состояние и тогда уравнение диффузии (4.11) сводится к уравнению Лапласа.

Локально гладкая граница движется со скоростью

в направлении, перпендикулярном поверхности с нормалью .

Поток жидкости в пористой среде описывается уравнением Дарси

(4.1). Для несжимаемой жидкости оно сводится к уравнению Лапласа (4.3). Это такое же уравнение, как (4.12), но с вместо концентрации С.

Однако на самом деле задача о двумерном вытеснении жидкости в пористых средах более сложная. Стандартный подход состоит в принятии гипотезы о применимости уравнения (4.1) к каждой из жидкостей. Давно известно, что фронт вытеснения неустойчив и что если вязкость вытесняющей жидкости меньше вязкости вытесняемой жидкости, то образуются «пальцы». В пределе, когда вязкостью вытесняющей жидкости можно пренебречь, например когда жидкость вытесняется газом, фронт вытеснения движется со скоростью аналогичной скорости (4.13) в случае ОДА. Патерсон [170] был первым, кто обратил внимание на аналогию, существующую между ОДА и течением в пористых средах. Он произвел численный эксперимент для стандартной ячейки, выполненной по так называемой пятиточечной схеме: вытесняющая жидкость инжектируется через отверстие в центре квадрата, а отводится вместе с вытесняемой жидкостью через четыре отверстия, расположенные по углам квадрата. Четверть такой квадратной ячейки представлена рис. 4.11. В той степени, в какой верна аналогия между ОДА и течением в пористых средах, фрактальная размерность фронта вытеснения должна быть равна 1,7, как для ОДА, на плоскости и 2,5 для вытеснения в трехмерном пространстве. Если отношения подвижностей конечны, то аргументация должна быть надлежащим образом изменена, как в противоположном пределе, когда вытесняющая жидкость имеет большую вязкость, фронт вытеснения, как известно, устойчив и, следовательно, должен иметь фрактальную размерность 1 в двумерном случае и 2 в случае трехмерного фронта вытеснения.

Ранее в этой главе мы видели, что ОДА и образование вязких пальцев в пористых средах во многом выглядят одинаково. Образующиеся в том и в другом случае структуры имеют приблизительно одну и ту же фрактальную размерность.

Рис. 4.11. Моделирование фронта вытеснения в момент пробоя для 1/4 стандартной ячейки с инжекцией вытесняющей жидкости в центре и четырьмя отверстиями для вытесняемой жидкости по углам квадрата. Вытесняющая жидкость имеет бесконечную подвижность [170].

Рис. 4.12. Рост за счет ОДА с прямой. Частицы начинают случайное блуждание от верхней границы и упруго отражаются от боковых стенок. Достигнув нижней границы или одного из деревьев, частица прилипает к ним. Нижняя граница имеет в длину 801 ячейку, длина самого длинного пальца - 1099 ячеек. Число частиц равно 47 348 [92].

Мы можем продемонстрировать, как сказывается на течении, описываемом уравнением Лапласа, изменение граничного условия. На рис. 4.12 представлен результат численного моделирования ОДА: диффундирующие частицы испускаются с верхнего обреза рамки. Соприкасаясь с нижним обрезом рамки, частица становится корнем нового дерева. Частица, которая касается любого из уже существующих деревьев, прилипает к нему в месте соприкосновения. Очередная частица начинает случайное блуждание из наугад выбранной точки на верхнем обрезе рамки, как только предыдущая частица поглощается. От вертикальных стенок диффундирующие частицы отражаются. Результаты численного моделирования и натурных экспериментов на рис. 4.13 выглядят очень похоже. Патерсон и др. [171] и Ленорман и Царконе [115] также получили дендритные структуры с вязкими пальцами при больших капиллярных числах, работая с квазидвумерными моделями, в которых имеется много слоев частиц, а в остальном сохраняется геометрия канала Хеле-Шоу. Мацусита и др. [151] наблюдали аналогичные фрактальные дендритные структуры в выращенном методом электроосаждения металлическом цинке.

Динамика процесса может быть прослежена и с помощью недавно предложенной модификации ОДА.

Рис. 4.13. Образование вязких пальцев при вытеснении глицерина воздухом (черный цвет) в двумерной модели пористой среды. Модель состоит из стеклянных бусин диаметром образующих плотнейшую упаковку в один слой между двумя прозрачными пластинами. Модель расположена горизонтально. Воздух инжектируется вдоль верхнего края ячейки, вытесняемый глицерин выходит из ячейки вдоль ее нижнего края [126].

Молёй и др. [124, 125] и Микин [154, 156] показали, что такой модифицированный динамический процесс ОДА подробно описывает скорость, с которой растут вязкие пальцы. Отсюда мы заключаем, что численное моделирование ОДА позволяет с высокой точностью описывать скорость, с которой растут вязкие пальцы при больших капиллярных числах.